Espaces vectoriels

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: rifly01

Bonjour,

Je suis entrain de faire quelques exercices et j'ai quelque uns que je ne vois pas comment les prendre ...

1 - F_1 = \Big{f_{1} :\quad \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \mbox{ tel que } f(0)=0\Big\}
2 - F_2 = \Big{ f_{2} :\quad \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \mbox{ tel que } f(0)=f(1)\Big\}

Comment montrer que f_1 et f_2 sont des \mathbb{R} - espaces vectoriels ?


Merci d'avance.


Posted by: Blueberry

Bonsoir,

Par exple, l'ensemble des fonctions f vérifiant f(0) = 0 est un espace vectoriel car il est évidemment stable par somme et par produit par un scalaire!

Idem ds l'autre cas.


Posted by: rifly01

Comment vous le rédiger ..?


comme ca ?

* 0\in F_{1} => F_1\neq\oslash
* Soit g,h \in F_{1}, \alpha \in\mathbb{R} \mbox{ tel que } (g+\alpha h)(0)=g(0)+\alpha (0) = 0+\alpha 0 = 0
car g,h \in\ F_1 Donc g + \alpha h\in\ F_1
Donc F_1 est un sous espace vectoriel Est-ce juste


---------------------------
Je sens quelque chose de bizzar : en effet, c'est une démo pour un SOUS espace vectoriel ... mais ce qu'on veut c'est un ESPACE VECTORIEL.
mais en disant : 'On sait que F(R,R) (l'ensembles des fonctions R dans R ) est un espace vectoriel sur R' aors on peut faire cette démo (si elle est juste :)
-----------------------------


Posted by: Blueberry

Oui exactement, on démontre rarement à partir de la définition qu'un ensemble est un espace vectoriel.
Ce que l'on fait en général, on prouve que l'ensemble en question est un sev d'un ev dans lequel il est clairement inclus.

Donc ta démo est correcte.


Posted by: rifly01

Merci bien !


Posted by: abcd22

Bonjour,
Un detail de redaction :
Citation:
Posté par rifly01
* 0\in F_{1} => F_1\neq\oslash
* Soit g,h \in F_{1}, \alpha \in\mathbb{R} \mbox{ tel que } (g+\alpha h)(0)=g(0)+\alpha (0) = 0+\alpha 0 = 0
car g,h \in\ F_1 Donc g + \alpha h\in\ F_1
Donc F_1 est un sous espace vectoriel Est-ce juste

Quand on dit "soit machin tel que bidule", ca veut dire que bidule est une hypothese sur machin, ici les seules hypotheses sur g, h et \alpha sont g,h \in F_{1}, \alpha \in\mathbb{R}, ce que tu ecris apres ton "tel que" n'est pas une hypothese mais au contraire ce que tu veux montrer, pour que la phrase soit correcte il faudrait le remplacer par "Soit ..., alors (g+\alpha h)(0) =... = 0, donc g + \alpha h\in\ F_1".










-