Espaces vectoriels normés

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Posted by: mehdi-128

Bonsoir,je dois montrer que:toute application f:R->R continue et périodique est uniformément continue.

merci...


Posted by: Nightmare

Bonsoir, applique le théorème de Heine.




Posted by: mehdi-128

Oui mais il s'applique sur un segment.....??


Posted by: Daniel-Jackson

Citation:
Posté par mehdi-128
Oui mais il s'applique sur un segment.....??


Mais comme ta fonction est périodique , tu peux te restreindre sur un intervalle fermé ( donc compact de R) de longeur T (la période) et là tu applique le théorème de "continuité sur un compact implique uniforme continuité ...."


Posted by: mehdi-128

Sur [0,T] f est uniformément continue.
Pour tout (x,y) appartenant a [0,T]^2,soit e>0,il existe b>0 tel que:

d(x,y)<b => d(f(x),f(y))<e

Ensuite,je vois pas ce qu'il faut faire....


Posted by: Daniel-Jackson

Citation:
Posté par mehdi-128
Sur [0,T] f est uniformément continue.
Pour tout (x,y) appartenant a [0,T]^2,soit e>0,il existe b>0 tel que:

d(x,y)<b => d(f(x),f(y))<e

Ensuite,je vois pas ce qu'il faut faire....



Ba c'est fini tu "translate" , t'as trouvé l'écart qu'il faut : c'est le b :

Quelque soit x et y pas forcément dans [0; T] (, si d(x,y)<b)

il existe n dans Z un entier tel que : x'=x-nT , y'=y-nT sont dans [0,T] et d(x',y')=d(x,y)<b alors d(f(x'),f(y'))<e or f(x)=f(x') et f(y')=f(y) ....


Ici la distance d est évidemment la valeur absolue


Posted by: mehdi-128

Oui merci y a seulement un truc que j'ai pas compris:
or f(x)=f(x') et f'y')=f(y).....

merci....


Posted by: Daniel-Jackson

Citation:
Posté par mehdi-128
Oui merci y a seulement un truc que j'ai pas compris:
or f(x)=f(x') et f'y')=f(y) ....

merci....


|f(x)-f(y)|= |f(x')-f(y')|<e


Posted by: mehdi-128

Ah ok c'est bon merci beaucoup.


Posted by: Daniel-Jackson

Citation:
Posté par mehdi-128
Ah ok c'est bon merci beaucoup.


De rien , justifie juste le n tel que x-nt est dans [0;T] , c'est pas compliqué c'est la "pseudo division euclidienne" de x par T :

Etant donné deux réels a et b , avec b\neq 0 , alor il existe un couple (n,r) tel que :

a= nb +r , avec 0 \leq r &lt; |b| et n \in \mathbb{Z}


Si mes souvenirs sont bons

Ou alors tu considère le quotient \mathbb{R} / T\mathbb{Z} qui est en fait un cercle ( à homéomorphisme près ) . En gros dans le segemnt [0; T] tu identifie 0 et T comme étant le meme point ( car même classe d'équivalence dans le quotient) le segment devient un cercle ...


Posted by: mehdi-128

ah ok merci.










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