espaces supplementaires

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Posted by: barbu23

Bonjour:
Pourriez vous me donner une explication sur la rasion pour laquelle deux espaces sont supplémentaires si :
$\ E = F \bigoplus G $ $\ \Longrightarrow $ $\ \phi \hspace{5cm} : \hspace{5cm} F \times G \hspace{5cm} \longrightarrow \hspace{5cm} E $ $\ \hspace{15cm} $ est bijective.
$\ \hspace{160cm} (x_1 ,x_2) \hspace{5cm} \longrightarrow \hspace{5cm} x_1 + x_2 $


Posted by: barbu23

Pour la surjectivité:
On a : $\ \forall z \in E $ $\ \exists x_2 \in G $ : $\ z = ( z - x_2 ) + x_2 $ .
On pose: $\ x_1 = z - x_2 $
$\ \Longrightarrow $
$\ \forall z \in E $ $\ \exists ( x_1 , x_2 ) \in F \times G $ : $\ z = x_1 + x_2 $
donc surjective !


Posted by: barbu23

En principe: $\ E = F \bigoplus G $ alors pas la peine d'ecrire $\ z = ( z - x_2 ) + x_1 $
Ehh j'suis con j'ai pas vu ça c'est une hypothèse !!!


Posted by: barbu23

Maintenant on verifie que : $\ Ker \phi = \{ 0 \} $


Posted by: barbu23

On a:
$\ z = 0_E \hspace{10cm} \Longrightarrow \hspace{10cm} x_1 + x_2 = 0_E = 0_F + 0_G \hspace{10cm} \Longrightarrow \hspace{10cm} x_1 = 0_F $ et $\ x_2= 0_G $
donc injective !!
merçi quant meme !!


Posted by: barbu23

Quelqu'un peut me corriger et merçi d'avance !!


Posted by: fahr451

bonsoir
c'est correct modulo le fait que pour l 'injectivité le z est superflu ;
d'autre part le résultat est mieux qu 'une implication mais bien une équivalence.


Posted by: barbu23

Pour l'injectivité au debut j'ai ecrit n'importe quoi d'abord les sous espaces vectoriels ont pour elements neutre celui de l'espace vectoriel global ...
en plus si $\ z = x_1 +x_2 = 0 $ ça veut dire que $\ x_1 +x_2 \in F \bigcap G = \{ 0 \} $ ça veut dire que $\ x_1 +x_2 \in F$ et $\ x_1 +x_2 \in G $ ce qui entraine que ;pour la première expression, $\ x_1 \in F $ et $\ x_2 = 0 $ et pour la seconde $\ x_1 = 0 $ et $\ x_2 \in G $ ce qui veut dire que on a vraiment $\ ( x_1 = 0 , x_2 = 0 ) $.
Merçi fahr451 pour ta reponse ... au depart j'ai raconté n'importe quoi !!! maintenant c'est claire comme reponse !!


Posted by: barbu23

oui et la reciproque est aussi correcte !!


Posted by: barbu23

Pourriez vous m'expliqez pourquoi on a : $\ F \bigcap G \subset \{ 0 \} $ si \phi est injective !!!
je travaille sur le cas reciproque du problème que j'ai proposé plus haut !! il est clair que $\ E = G + F $ car $\ \phi $ est surjective et $\ \{ 0 \} \subset F \bigcap G $ .. il reste ce dernier cas je vois pas comment faire et merçi infiniment !!!


Posted by: barbu23

Soit : $\ z \in F \bigcap G $ ... on doit montrer que $\ z = 0$ ... pouvez vous me donner quelques pistes et merçi d'avance !!


Posted by: barbu23

$\ z \in F \bigcap G \Longrightarrow z \in F \wedge z \in G \Longrightarrow z = z + 0_G = 0_F + z \Longrightarrow z = 0 $


Posted by: barbu23

Rebonjour:
j'ai un deuxième problème:
d'abord pour que vous compreniez j'ai un cours qui ne donnent que des resultats soit sans demonstrations soit avec des demonstrations très très succintes ... le 1 er problème en fait partie.. maintenant pour le deuxième, le voiçi:
soit $\ E $ un espace vectoriel.
soit $\ F $ un sous espace vectoriel de $\ E $.
soit $\ G $ et $\ H $ deux sous espaces supplementaires chacun par rapport à l'autre du sous espace vectoriel $\ F $ ...
alors on doit montrer que $\ G $ et $\ H $ sont isomorphe ..
pourriez vous me donner quelques pistes je ne sais meme pas par quoi commencer et merçi infiniment !!


Posted by: barbu23

peut etre que j'ai mal compris le sens de cette proposition... dans un autre cours , on trouve ça :
" les supplémentaires d'un sous espace vectoriel sont isomorphes " ... est ce que celà veut dire qu'un sous espaces vectoriel peut avoir plusieurs supplementaires...


Posted by: barbu23

voiçi ce que dit la proposition j'suis perdu
Deux sous-espaces vectoriels qui sont supplémentaires d'un même sous-espace vectoriel sont isomorphes... à vous de la traduire à vos propres manières... j'ai un sale cours ... c'est trop dur de comprendre le contenu !!!


Posted by: kazeriahm

la proposition veut dire que :

si E est un espace vectoriel, F,G et H trois sous espaces vectoriels de E tels que
F et G sont supplémentaires dans E
F et H sont supplémentaires dans E

alors G et H sont isomorphes.

Un sous espace vectoriel peut possèder plusieurs et meme une infinité de supplémentaires par exemple si E=R^2, si F est une droite vectorielle quelconque (par exemple la droite des abscisses), alors toute droite vectorielle distincte de F est un supplémentaire de F dans R^2


Posted by: barbu23

ça veut dire que :
$\ E = F \bigoplus G = F \bigoplus H $ et $\ G \neq F $ est ce que celà est vrai ?


Posted by: barbu23

avec une demonstration ça aurait été sympas !!! il n'y'a pas de demonstration dans le cours !!!


Posted by: barbu23

la decomposition est unique n'est ce pas ?!


Posted by: kazeriahm

avec les memes notations
pour tout x_h dans H, il existe un unique (x_f,x_g) \in F*G car x est dans H et donc dans E.

Tu considères l'application p qui va de H dans G et qui à x_h associe x_g. Tu peux vérifier que cette application est linéaire.

Montrons qu'elle est injective.

Soit x_h \in Ker p. On a donc x_h=x_f+x_g=x_f car x_g = 0. Donc x_h=x_g, c'est à dire que x_h est dans l'intersection de H et de G. Ces deux espaces étant supplémentaires, x_h=0 donc Ker p =\{0\} et p est injective.

Montrons qu'elle est surjective. Soit x_g \in G. Il existe un unique (x_f,x_h) dans F*H tel que x_g=x_f+x_h.

Donc x_h=-x_f+x_g, donc p(x_h)=x_g.

Donc p est surjective puis bijective donc c'est un isomorphisme de H sur G.

(En fait p est la restriction sur H du projecteur t sur G parallèlement à F mais je sais pas si tu connais ca. Dans ce cas H étant un supplémentaire de Ker t=F, on sait que p est un isomorphisme de H sur Im t=G mais ...)


Posted by: barbu23

Merçi beaucoup !!!


Posted by: fahr451

les notions géométriques ne sont jamais loin de l'algèbre linéaire
et aident à comprendre souvent

pour toi barbu dans un plan ( vectoriel) qu'est-ce qu 'un supplémentaire d'une droite F ? combien y en a-t-il ?


Posted by: barbu23

c'est la direction du plan n'est ce pas !! mais j'l'ai compris après que j'ai étudié les projections et symetrie c'est ça ce qui manquait pour le comprendre !!!


Posted by: barbu23

direction c'est à dire direction et base et non pas direction d'un espace affine j'espere que vous me comprenez bon c'est juste une terminologie d'après un autre cours que j'etudie pour l'instant !!


Posted by: barbu23

un epsace affine peut aussi etre vue comme un espace vectoriel si on le munit de l'application $\ E \times E \longrightarrow E $ avec $\ X = E $ !!!


Posted by: nox

Citation:
Posté par barbu23
un epsace affine peut aussi etre vue comme un espace vectoriel si on le munit de l'application $\ E \times E \longrightarrow E $ avec $\ X = E $ !!!


quelle application ? c'est quoi X pour toi ?


Posted by: barbu23

$\ X $ c'est l'espace affine un espace affine est un ensemble munit d'une application de la forme $\ X \times X \longrightarrow E $ avec $\ E $ un espace vectoriel qu'on appelle direction de $\ X $ est quelconque n'est ce pas si on met $\ X = E $ l'application devient comme bilineaire n'est ce pas ?! bon quelque chose comme ça !!


Posted by: nox

quelque chose comme ca (de loin quand meme) mais je ne vois pas pourquoi :
Citation:
Posté par barbu23
si on met $\ X = E $ l'application devient comme bilineaire



Posted by: barbu23

non ce n'est pas necessairement bilineaire


Posted by: nox

c'est quoi le but du post en fait ? ^^ pke la je suis un peu perdu...

tu veux montrer quoi ?


Posted by: barbu23

on doit verifier si : $\ E \times E \longrightarrow E \hspace{50} $ est bilineaire.
$\ \hspace{130cm} (x,y) \longrightarrow \vec {xy} = y-x $


Posted by: nox

ben elle l'est pas...

\Phi (x+x',y) n'est pas égal à \Phi (x,y)+ \Phi(x',y) par exemple.


Posted by: barbu23

bon c'est vrai j'ai ajouté ça comme ça sans but !!! sauf ça a marqué mon esprit c'est tout !!!


Posted by: barbu23

oui tu as raison !!


Posted by: nox

Citation:
Posté par barbu23
oui tu as raison !!

tout arrive ! :p










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