espaces de Banach

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Posted by: legeniedesalpages

Bonsoir,

je bloque sur cet exercice:

Soit E un espace de Banach Et F=\mathcal{L}(E,E), l'espace de Banach des applications linéaires continues de E dans E. On munit F de la norme d'opérateur induite par la norme de E.

1) Montrer que si u et v sont dans F, ||u\circ v|| \leq ||u||.||v||.

2) Montrer que, si ||u||<1, la série \Bigsum_{n=0}^N u^n converge dans F. En déterminer la limite.

3) Montrer que G:=\{u\in F:\ \textrm{u est inversible} \} est un ouvert de F.

Pour la 1) c'est ok, après pour la 2) je ne vois pas comment déterminer la limite. Pour la 3) je ne vois pas comment attaquer.

Merci pour votre aide.


Posted by: ffpower

Indic:se servir de la question 2 lol.Si u est inversible et v de norme petite alors u+v=u(id+vu^(-1)) or id+uv^(-1) est....Je te laisse compléter


Posted by: barbu23

Ben pour $\ 3) $ tu considères l'ensembles des endomorphismes à determinant non nul et le determinant est une application continue n'est ce pas ? et $\ G $ est exactement le noyaux de ce detrminant ... etc ... et tu deduis le resultat !!
Pour $\ 2) $ ben il faut retourner à mon avis au cors sur les series entières ...
regarde ici :
http://c.caignaert.free.fr/chapitre11/node1.html
Bonne chance ... !


Posted by: barbu23

parceque à mon avis, ta serie s'ecrit comme ça : $\ \frac{1-u^{n}}{1-u} $ ( suite ) ... ben etudie la convergence de cette suite là ... ! n'est ce pas ... ?


Posted by: ffpower

Le déterminant dans un Banach?


Posted by: legeniedesalpages

Merci pour vos réponses.

Pour la 2), je crois que j'ai compris:

Pour tout entier N, on note v_N = \Bigsum_{n=0}^N u^n.

On a v_N\circ (\textrm{Id}_E-u) = \textrm{Id}_E-u^{N+1},

or ||u^{N+1}||_F\leq ||u||^{N+1}_F\rightarrow 0 quand N\rightarrow \infty car ||u||_F<1.

Donc v_N\circ (\textrm{Id}_E-u)\rightarrow \textrm{Id}_E quand N\rightarrow \infty.

v_N tend vers un vecteur v quand N\rightarrow \infty relativement à le norme ||.||_F et l'application (f,g)\rightarrow f\circ g de F\times F dans F est continue.

Donc \textrm{Id}_E=\lim_{n\rightarrow \infty} (v_N\circ (\textrm{Id}_E-u)) = (\lim_{n\rightarrow \infty} v_N)\circ (\textrm{Id}_E-u) = v\circ (\textrm{Id}_E-u).

On montre de même que (\textrm{Id}_E-u)\circ v = \textrm{Id}_E, ainsi \textrm{Id}_E-u est inversible dans F et (\textrm{Id}_E-u)^{-1}=\Bigsum_{n=0}^{\infty}u^n.

Je regarde pour la 3) :)


Posted by: legeniedesalpages

Citation:
Posté par ffpower
Indic:se servir de la question 2 lol.Si u est inversible et v de norme petite alors u+v=u(id+vu^(-1)) or id+uv^(-1) est....Je te laisse compléter



là je ne comprends pas.


Posted by: ffpower

On a u+v=u(id+vu^(-1)).On sait que u est inversible,il reste a voir si id+vu^(-1) est inversible lui aussi.Si on pose w=-vu^(-1),alors id+vu^(-1)=id-w
Or d apres la question 2...


Posted by: legeniedesalpages

Citation:
Posté par ffpower
On a u+v=u(id+vu^(-1)).On sait que u est inversible,il reste a voir si id+vu^(-1) est inversible lui aussi.Si on pose w=-vu^(-1),alors id+vu^(-1)=id-w
Or d apres la question 2...


ah oui, merci, donc d'après la question 2) \textrm{Id}_E-w est inversible dès que ||w||_F<1, ie ||v||_F<||u||_F,
mais en quoi ça montre que u est intérieur à G?


Posted by: ffpower

Et bien on a montrer que si v est de norme assez petite,u+v est dans G.C est précisément la définition de u interieur a G:Ya une boule centrée en u incluse dans G..


Posted by: legeniedesalpages

ah oui c'est vrai, merci ffpower :)


Posted by: barbu23

bonjour :
J'ai pas trop compris le principe pour montrer que la serie de legeniealpagesconverge dans $\ F $ ...
merci d'avance !!


Posted by: legeniedesalpages

Citation:
Posté par barbu23
bonjour :
J'ai pas trop compris le principe pour montrer que la serie de legeniealpagesconverge dans $\ F $ ...
merci d'avance !!



Salut, ben c'est ton principe lol:

Citation:
Posté par barbu23
parceque à mon avis, ta serie s'ecrit comme ça : $\ \frac{1-u^{n}}{1-u}$ ( suite ) ... ben etudie la convergence de cette suite là ... ! n'est ce pas ... ?


sauf que l'écriture 3$\ \frac{1-u^{n+1}}{1-u} n'a pas de sens pour les endomorphismes (division non définie), donc on a plutôt 3$(1_F-u)\circ (\Bigsum_{n=0}^N u^n)= (\Bigsum_{n=0}^N u^n) \circ (1_F-u)=1_F-u^{N+1}


Posted by: barbu23

Ah oui, t'as parfaitement raison ... !










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