Soit H=Vect((A,B,C)) avec A=(1,2,3,1) , B=(6,1,2,0) C=(4,-3,-4,-2) troix
vecteurs de C^4 .
On me demande de donner une base de H je remarque qu' on peut exprimer C en
fonction de A et B donc H=Vect((A,B)) par exemple.
On me demande de trouver un supplémentaire de H ( on pourra completer la
base de H par des vecteurs de la base canonique).
Voila la ca ce gate je ne vois pas quel vecteur ajouter ...
si quelqu' un peut m' aider ... Merci d' avance
Posted by: Michel
Romain :
> Soit H=Vect((A,B,C)) avec A=(1,2,3,1) , B=(6,1,2,0)
> C=(4,-3,-4,-2) troix vecteurs de C^4 .
> On me demande de donner une base de H je remarque qu' on peut
> exprimer C en fonction de A et B donc H=Vect((A,B)) par exemple.
N'oublie pas que (A,B) est libre.
> On me demande de trouver un supplémentaire de H ( on pourra
> completer la base de H par des vecteurs de la base canonique).
(A,B) est libre dans C^4, on la complète en une base de C^4
(A,B,C,D) (thm. de la base incomplète)
alors Vect(C,D) est le supplémentaire de H.
Soit e1, e2, e3, e4 les vecteurs de la base canonique de C^4.
A = e1 + 2e2 + 3e3 + e4
B = 6e1 + e2 + 2e3
e1 + 2e2 = A - 3e3 - e4
e2 + 6e1 = B - 2e3
donc en prenant e1 et e2 comme inconnues :
e1 s'écrit comme combinaison linéaire de A,B,e3,e4
e2 s'écrit comme combinaison linéaire de A,B,e3,e4.
(A,B,e3,e4) est donc génératrice et de card 4, c'est une base.