Mathématiques - espace vectoriel normé

espace vectoriel normé
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Posted by: legeniedesalpages

Bonjour,

je bloque sur cet exo:

Soit $(E,||.||)$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel normé.

1) On suppose que $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ et que la norme $||.||$ vérifie la règle du parallélogramme,

ie pour tous $x,y\in E$ ,

$||x+y||^2+||x-y||^2 = 2(||x||^2+||y||^2)$

Pour tout $(x,y)\in E\times E$ on pose $\varphi(x,y) := \frac{1}{4}(||x+y||^2-||x-y||^2)$ .

a) Justifier la continuité de $\varphi$ sur $E\times E$ .

b) Déterminer $\varphi(y,x)$ et $\varphi(-x,y)$ en fonction de $\varphi(x,y)$ . Calculer $\varphi(0_E,y)$ .

c) Montrer que $\varphi(x+x',y)=\varphi(x,y)+\varphi(x',y)$

d) En déduire que pour tout $q\in \mathbb{N}$ , on a $\varphi(qx,y)=q\varphi(x,y)$ . Montrer que cette dernière égalité est encore vraie pour tout $q\in \mathbb{Q}$ .

e) En utilisant la continuité de $\varphi$ , montrer que $\varphi(.,y)$ est $\mathbb{R}$ -linéaire et en déduire que $\varphi$ est un $\mathbb{R}$ -produit scalaire.

f) Vérifier que la norme $||.||$ ci-dessus est égale à la norme associée au $\mathbb{R}$ -produit scalaire $\varphi$ .

2) Montrer que, pour $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ , le $\mathbb{R}$ -espace vectoriel normé $(E,||.||)$ est un $\mathbb{R}$ -espace préhibertien ssi la norme $||.||$ vérifie la règle du parallélogramme.

3) Qu'en est-il pour $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ ?

Déjà je bloque à partir de la 1)c), je ne vois pas comment procéder.

Merci pour votre aide.

Posted by: legeniedesalpages

Je sollicite votre aide pour la question 1 c) auquel je bloque toujours.

Merci pour vo réponses. :)

Posted by: alavacommejetepousse

bonjour

je présume que c'est - dans la définition et non +

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

Posté par alavacommejetepousse

bonjour

je présume que c'est - dans la définition et non +

Dans l'énoncé qu'on m'a donné c'est +.

Posted by: alavacommejetepousse

ben non

pars à l' envers

suppose que la norme est euclidienne

ton phi c est le produit scalaire de x et y

il vaut 1/4 ( ll x+yll^2 ---------- ll x-yll^2) en développant

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

Posté par alavacommejetepousse

ben non

pars à l' envers

suppose que la norme est euclidienne

ton phi c est le produit scalaire de x et y

il vaut 1/4 ( ll x+yll^2 ---------- ll x-yll^2) en développant

ok donc il y aurait une coquille, je développe à l'envers et je reprends l'exo, merci alavacommejetepousse.

Posted by: legeniedesalpages

Bon, même avec $\varphi$ corrigée, je ne vois pas comment montrer l'additivité.

Posted by: Nightmare

Salut

$3$\rm \phi(x,y)+\phi(x',y)=\frac{1}{4}$||x+y||^{2}+||x' +y||^{2}-(||x-y||^{2}+||x'-y||^{2})$$
Or :
$3$\rm ||x+y||^{2}+||x'+y||^{2}=\frac{1}{2}||x+y+x'+y||^{ 2}+\frac{1}{2}||x+y-x'-y||^{2}=\frac{1}{2}||x+x'+2y||^{2}+\frac{1}{2}||x-x'||^{2}$
et
$3$\rm ||x-y||^{2}+||x'-y||^{2}=\frac{1}{2}||x-y+x'-y||^{2}+\frac{1}{2}||x-y-x'+y||^{2}=\frac{1}{2}||x+x'-2y||^{2}+\frac{1}{2}||x-x'||^{2}$

Au final il reste donc :
$3$\rm \phi(x,y)+\phi(x',y)=\frac{1}{8}||x+x'+2y||^{2}-\frac{1}{8}||x+x'-2y||=\frac{1}{2}\phi(x+x',2y)$
Bizarre ça!

Posted by: legeniedesalpages

Salut Jord,

dans la question précédente (1b) j'ai montré que $\varphi$ est symétrique: $\varphi(y,x)=\varphi(x,y)$ .

Et vu la question suivante, je pense que ça concorde. Je ne vois pas ce qui cloche?

Posted by: ffpower

Je prend la suite de nightmare:en faisant x'=0,on obtient
$\varphi(x,y)=\frac{1}{2}\varphi(x,2y)$

Ceci étant vrai pour tout x,en remplacant x par x+x',on obtient:
$\varphi(x+x',y)=\frac{1}{2}\varphi(x+x',2y)$
et donc
$\varphi(x,y)+\varphi(x',y)=\frac{1}{2}\varphi(x+x' ,2y)=\varphi(x+x',y)$

Posted by: legeniedesalpages

Finalement j'y arrive comme ça:

On utilise deux fois la règle du parallélogramme:

i) avec $x+y$ et $x'$ , on a :

$(1)\qquad ||x+x'+y||^2=2(||x+y||^2+||x||^2) - ||x-x'+y||^2$ ,

ii) avec $x'-y$ et $x$ , on a :

$(2)\qquad ||x+x'-y||^2=2(||x'-y||^2+||x||^2) - ||-x+x'-y||^2$ ,

.

Si on soustrait membre à membre l'égalité (1) par l'égalité (2), on a

$3$||x+x'+y||^2-||x+x'-y||^2$

$3$= 2(||x+y||^2-||x'-y||^2)+2(||x'||^2-||x||^2)$

$3$=||x+y||^2-||x-y||^2+||x'+y||^2-||x'-y||^2+2(||x'||^2-||x||^2)+||x+y||^2-||x'-y||^2+||x-y||^2-||x'+y||^2$

$3$=||x+y||^2-||x-y||^2+||x'+y||^2-||x'-y||^2+(||x+y||^2+||x-y||^2)-(||x'-y||^2+||x'+y||^2)-2||x||^2+2||x'||^2$

$3$=||x+y||^2-||x-y||^2+||x'+y||^2-||x'-y||^2+2(||x||^2+||y||^2)-2(||x'||^2+||y||^2)-2||x||^2+2||x'||^2$ , règle du parallélogramme appliquée deux fois,

$3$=||x+y||^2-||x-y||^2+||x'+y||^2-||x'-y||^2$

D'où $\varphi(x+x',y) = \varphi(x,y)+\varphi(x',y)$ .

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

Posté par ffpower

Je prend la suite de nightmare:en faisant x'=0,on obtient
$\varphi(x,y)=\frac{1}{2}\varphi(x,2y)$

Ceci étant vrai pour tout x,en remplacant x par x+x',on obtient:
$\varphi(x+x',y)=\frac{1}{2}\varphi(x+x',2y)$
et donc
$\varphi(x,y)+\varphi(x',y)=\frac{1}{2}\varphi(x+x' ,2y)=\varphi(x+x',y)$

ah oui effectivement, merci ffpower.

Posted by: legeniedesalpages

bon c'est ok, pour la 1).

Ensuite pour la 2)

On a montré en 1) que si la norme vérifie la règle du parallélogramme, $(E,||.||)$ est un $\mathbb{R}$ -espace préhilbertien.

Réciproquement, si $(E,||.||)$ est un $\mathbb{R}$ -espace préhilbertien, soit $(.|.)$ le produit scalaire associé à $||.||$ ,

pour $x,\ y \in E$ , on a:

$||x+y||^2 = (x+y|x+y) = (x|x)+(x|y)+(y|x)+(y|y)$

$= (x|x)+(x|y)+\overline{(y|x)}+(y|y)$

$= (x|x)+2\mathcal{R}e(x|y)+(y|y)\qquad \qquad(1)$

l'égalité $(1)$ peut être réécrite sous la forme

$||x+y||^2=||x||^2+2\mathcal{R}e(x|y)+||y||^2\qquad \qquad (2)$

En échangeant $y$ par - $y$ dans l'égalité $(2)$ on obtient

$||x-y||^2=||x||^2-2\mathcal{R}e(x|y)+||y||^2\qquad \qquad (3)$

En additionnant $(2)$ et $(3)$ on obtient

$||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2)$ ,

l'égalité du parallélogramme.

Ensuite pour 3), dans la preuve précédente, on observe que si $(E,||.||)$ est un $\mathbb{C}$ -espace préhilbertien, la norme vérifie la règle du parallélogramme, mais pour la réciproque je ne vois pas.

Posted by: ffpower

Pour 2),tu veux dire.ben la réciproque,c est la conséquence de tout ce que tu a fait dans 1).Si t as une norme vérifiant l identité du parralélogramme,elle est issu d un produit scalaire par 1 f),donc elle est préhilbertienne.(c la definition..)

Au fait,comme on est dans R c est (x,y) qu il faut ecrire et pas Re(x,y)..(enfin on peut,mais ca sert a rien de parler de la partie réelle d un réel^^)

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

Posté par ffpower

Pour 2),tu veux dire.ben la réciproque,c est la conséquence de tout ce que tu a fait dans 1).Si t as une norme vérifiant l identité du parralélogramme,elle est issu d un produit scalaire par 1 f),donc elle est préhilbertienne.(c la definition..)

Au fait,comme on est dans R c est (x,y) qu il faut ecrire et pas Re(x,y)..(enfin on peut,mais ca sert a rien de parler de la partie réelle d un réel^^)

non c'est bien 3), j'ai écrit dans 2) de façon générale avec les parties réelles pour éviter de réécrire la même chose dans 3) pour l'implication directe.

Il me reste en fait l'implication indirecte en 3).

Edit: je viens de modifier IR par IC à la fin de mon post #13 pour éviter un quiproquo :)