Espace toplogique, définition et ouverts

[chrisgal]

bonjour

Par curiosité personnelle, je m'intéresse aux espaces topologiques que je n'ai jamais étudié en fac. Je suis donc débutant dans ce domaine. Voici ma question. D'après la définition un espace topologique est un ensemble E et un ensemble de parties (les ouverts) dont l'intersection ou l'union donne également un ouvert. Si je prend comme ensemble la droite des réels, et que je prend des intervals fermés (suivant la définition classique), leur intersection et leur union donne également un fermé. Ils pourraient donc satisfaire a la première définition! Donc, comment je déduis à partir de la première définition que les parties de E sont des ouverts (c.a.d que pour tout point d'un ouvert O, O est le voisinage de ce point) ?

[Maxmau]

bonjour

Par curiosité personnelle, je m'intéresse aux espaces topologiques que je n'ai jamais étudié en fac. Je suis donc débutant dans ce domaine. Voici ma question. D'après la définition un espace topologique est un ensemble E et un ensemble de parties (les ouverts) dont l'intersection ou l'union donne également un ouvert. Si je prend comme ensemble la droite des réels, et que je prend des intervals fermés (suivant la définition classique), leur intersection et leur union donne également un fermé. Ils pourraient donc satisfaire a la première définition! Donc, comment je déduis à partir de la première définition que les parties de E sont des ouverts (c.a.d que pour tout point d'un ouvert O, O est le voisinage de ce point) ?

Kn = [1 /n , (n-1)/n] n > 0 . Les Kn sont des intervalles fermés
La réunion de tous les Kn est l’intervalle ouvert ]0,1[

[alavacommejetepousse]

bonjour


une union quelconque d'ouverts est un ouvert mais a priori seule une intersection de deux ou d'un nombre fini d'ouverts est un ouvert

inversement une intersection quelconque de fermés est un fermé mais seule une réunion finie de fermés est un fermé

[ThSQ]

bensemble de parties (les ouverts) dont l'intersection ou l'union donne également un ouvert.

Intersection finie uniquement.

(Avec une hypothèse de séparation minimale) et avec ta définition (ie intersection quelconque) tu pourrais montrer que tous les points sont ouverts et par voie de conséquence toutes les parties seraient ouvertes ! Pas trop intéressant ...