Mathématiques - espace ordinaire

espace ordinaire
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Posted by: legeniedesalpages

Bonjour, j'ai du mal avec cet exo d'algèbre linéaire (j'ai oublié pas mal de notions d'algèbre, de géométrie planes et dans l'espace

) :

Dans l'espace ordinaire $E$ muni d'une origine $O$ , soient $D$ et $P$ une droite et un plan passant par $O$ .
1°) Trouver $D+P$ .
Soit $\varphi$ la projection orthogonale de $E$ sur $P$ .
2°) Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $E$ ; trouver son noyau et son image.

Déjà, je ne me rappelle plus comment on définit une droite dans ce contexte, je n'arrive même pas à montrer que $D$ est un sous-espace de $E$ :

$O \in D$ (ça c'est ok). Ensuite on prend deux points $M, N$ de la droite $D$ , et un scalaire $\lambda$ .
Il faut que je montre que $\stackrel{\rightarrow}{OM} + \lambda \stackrel{\rightarrow}{ON} \in D$ .

Posted by: kazeriahm

je pense que ca dépend si tu définis une droite (ou un plan) plutot de manière algèbrique ou plutot de manière géomètrique

en algèbre, une droite c'et par définition un espace affine de dimension 1

un plan un espace affine de dimension 2

ici tes deux espaces contiennent l'origine donc ce sont des espaces vectoriels

Posted by: legeniedesalpages

Avec ta définition c'est beaucoup plus simple, à ce moment-là ils sont évidemment des sous-espaces, et $D+P=E$ si $D\cap P = \{O\}$ , $D+P=P$ sinon.

Mais j'aurai voulu une définition plus "lycée" de la droite et du plan (je ne pe rappelle plus ce qu'on avait comme définition), en supposant les notions affines et la dimension encore inconnues.

En fait je voudrais savoir comment on peut se débrouiller à la main. :)

Posted by: kazeriahm

bah sinon tu peux paramètrer ta droite comme on sait la faire au lycée, ce qui revient sans le dire à la considèrer comme un espace affine

il existe un vecteur directeur u de ta droite D

or elle passe par O l'origine

donc D={(x,y,z) dans R^3 / existe t réel, x=u_x*t, y=u_y*t et z=u_z*t}

donc D est un ev :)

pour le plan P tu peux considèrer une équation cartésienne de P

p:a*x+b*y+c*z=d

or (0,0,0) est dans P donc d=0 et tu as encore un ev puisque P={(x,y,z)/ a*x+b*y+c*z=0}

Posted by: legeniedesalpages

ok, donc

si $D\subset P$ :

Soit $x \in D+P$ . Il existe alors $d\in D$ et $p \in P$ tel que $x = d+p$ . Comme $d,p \in P$ , $x\in P$ .
Inversement, soit $x\in P$ . On a $x = 0+x \in D+P$ .
Donc $D+P = P$ .

si $D$ n'est pas inclus dans $P$ :

Il est clair que $D+P \subset E$ . Par contre, je ne vois pas comment montrer que $E \subset D+P$ .

Posted by: kazeriahm

bah tu peux raisonner sur la dimension (sans raisonner dessus explicitement)

si u est vecteur directeur de D, v et w base de P, alors il est clair que (u,v,w) est une base de E non ?

Posted by: Rain'

Tu prends un vecteur x de l'espace, tu considères sa projection p(x) sur le plan parallèlement à la droite.

p(x) est dans le plan, x - p(x) appartient à la droite, et x = [p(x)] + [x - p(x)]

donc E inclus dans D+P. Avec un dessin c'est clair.

Posted by: legeniedesalpages

oui, mais justement, je crois qu'en fait je dois montrer que trois vecteurs u,v,w engendrent E tout entier.

Il faudrait donc que je montre que E a besoin de seulement trois vecteurs (bien choisis) pour etre engendré; et que la famille (u,v,w) est libre, c'est ça?

Posted by: kazeriahm

E est de dimension 3 par hypothese non ? qu'entends tu par espace ordinaire?

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

Posté par Rain'

Tu prends un vecteur x de l'espace, tu considères sa projection p(x) sur le plan parallèlement à la droite.

Salut Rain'.

Il me semble que pour que ta projection soit correctement définie, il faut avoir prouvé que D et P sont supplémentaires, non?

Posted by: legeniedesalpages

Je ne sais pas justement ce que c'est exactement un espace ordinaire, c'est l'auteur qui utilise cette terminologie. Peut-être en référence à l'espace de la "géométrie dans l'espace" qu'on voit en terminale.

La seule chose que j'ai c'est ça:

L'ensemble $E$ des vecteurs libres de l'espace ordinaire est un espace vectoriel réel pour les opérations usuelles $(\stackrel{\rightarrow}{V},\stackrel{\rightarrow}{ V'})\longrightarrow \stackrel{\rightarrow}{V}+\stackrel{\rightarrow}{V '}$ et $(\lambda,\stackrel{\rightarrow}{V})\longrightarrow \lambda \stackrel{\rightarrow}{V}$ . On peut identifier $E$ à l'espace ordinaire dans lequel on a choisi une origine $O$ , en faisant correspondre au point $M$ le vecteur $\stackrel{\rightarrow}{OM}$ .

Posted by: Rain'

Analytiquement et pour reprendre les notations de kazeriahm,

(x,y,z) appartient à P <=> ax+by+cz=0

(x,y,z) appartient à D <=> il existe t tel que
$x= u_xt$
$y=u_yt$
$z=u_zt$

Si D n'est pas inclus dans P, $au_x+bu_y+cu_z = k$ et k non nul

Soit (X,Y,Z) un point quelconque de l'espace.

aX+bY+cZ = M , M quelconque.

On pose $t = \frac{M}{k}$ existe car k non nul.

$(X,Y,Z) = (X-u_xt,Y-u_yt,Z-u-zt) + (u_xt,u_yt,u_zt)$

$(u_xt,u_yt,u_zt) \in D$ par définition
$(X-u_xt,Y-u_yt,Z-u_zt) \in P$ car $a(X-u_xt) + b(Y-u_yt) + c(Z-u_zt) = (aX+bY+cZ) - (au_xt + bu_yt + cu_zt) = M - tk = tk - tk = 0$

C'est une preuve de ce genre que tu veux ? Ca complique quand même par rapport à la dimension même si c'est exactement la même chose.

Posted by: legeniedesalpages

Merci Rain',

oui c'est exactement ce que je recherche.

Et en fait dès qu'on a choisi une origine $O$ , je pense que j'aurai du fixer une repère $(O; \stackrel{\rightarrow}{e_1}, \stackrel{\rightarrow}{e_2}, \stackrel{\rightarrow}{e_3})$ , comme ça on peut utiliser les coordonnées.

Posted by: legeniedesalpages

Citation:

Posté par legeniedesalpages

Soit $\varphi$ la projection orthogonale de $E$ sur $P$ .
2°) Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $E$ ; trouver son noyau et son image.

Pour un point $M$ de $E$ , comment je peux exprimer $\varphi(M)$ ?

Je ne vois pas comment montrer que $\varphi$ est un endomorphisme (il était temps que je me mette à l'algèbre

)

Posted by: legeniedesalpages

ah mais en fait, je ne sais pas lire! haha

Dans l'énoncé D et P sont supposés perpendiculaires.

Posted by: legeniedesalpages

Bon ben exercice résolu en fait :)