Mathématiques - Espace métrique, fct continue ?

Espace métrique, fct continue ?
(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)

Posted by: benj3850

salut a tous
voila j'ai une application f : E -> E qui a la propriété suivante :

d(f(x),f(y)) < d(x,y)
et je dois montrer que cette application est continue mais je vois pas comment, pourriez vous m'aider ?
merci d'avance en tout cas !
@+

Posted by: Zebulon

Bonjour,
écris le critère de continuité.

Posted by: benj3850

heu je vois pas bien ce que c'est, désolé

Posted by: Zebulon

Soit $x_0\in E$ .
f est continue en $x_0$ ssi :
$\Large\forall\epsilon>0\ \exists\eta>0\ \forall x\in E\ d(x_0,x)<\eta\ =>\ d(f(x_0),f(x))<\epsilon$ .
Donne-toi un $\Large \epsilon>0$ , et trouve un $\Large\eta$ (dépendant de $\Large\epsilon$ ) qui rende vraie l'implication $\Large d(x_0,x)<\eta\ =>\ d(f(x_0),f(x))<\epsilon$ .

Posted by: benj3850

d'accord, merci bien, je vais essayé tout ca !

Posted by: benj3850

j'y arrive pas :S
en plus je comprend pas bien, dans la définition c'est pour tout epsilon, donc pourquoi faut il en prendre un en particulier ?

Posted by: simplet

montrer une propriété pour un epsilon QUELCONQUE cela revient à montrer cette propriété pour tout epsilon.

Si tu compares la définition de la continuité d'une fonction et celle de lipschitzienne tu trouves "trivialement" le "mu" cherché...

"mu"? va falloir que je me mette au TEX moi

Posted by: benj3850

faut il se servir de la question précédente qui donne une fonction h : E -> R telle que x -> d(g(x),x) avec g une application continue de E vers E. (il fallait montrer que h était une application continue).et pour la suite du problème, E est supposé compact.

Posted by: Zebulon

Citation:

Posté par benj3850

faut il se servir de la question précédente qui donne une fonction h : E -> R telle que x -> d(g(x),x) avec g une application continue de E vers E. (il fallait montrer que h était une application continue).et pour la suite du problème, E est supposé compact.

Non, il ne faut pas se servir de h. Le but, c'est de montrer que f a un point fixe ?
Si $\Large (x_0,x)<\epsilon$ , que peux-tu dire de $\Large d(f(x_0),f(x))$ ?

Posted by: benj3850

si on prend n=espilon ca marche il me semble non ?

Posted by: simplet

bingo!

Posted by: benj3850

lol, waou je suis trop fort, j'ai eu un élan d'inspiration tout d'un coup

Posted by: benj3850

C'est encore moi !
Voila j'ai besoin de vos avis car j'ai essayé de faire la suite et j'aimerais savoir si c'est correct (il y a surement pas mal d'erreurs) :
E est un espace métrique, compact.pour n>=1 on pose En=f rond...rond f(E)
(n fois la composée de f).il faut montrer que (En)n est une suite décroissante cad que pour tout n>=0, En+1 est inclu dans En, d'ensembles compacts. En déduire que E_infini= intersection_n En est un compact non vide (désolé pour l'écriture, E_infini = signe de l'intersection avec un petit n>=1, de En).
pour la première question j'ai par récurence, pour n=1 j'ai dit que c'etait ok car f est continue on l'a montré, et f va de E dans E donc E1 est inclu dans E.ensuite j'ai supposé la chose à démontré vraie pour un certain n, c'est à dire :
En inclu dans En-1, et en appliquant f qui est continue on obtient En+1 inclu dans En, donc a bien En+1 inclu dans En pour tout n>=1 (c'est juste ?).
Par contre la pour déduire que En est un compact non vide, la je vois pas trop, si vous pourriez me mettre sur la voie :)
Merci d'avance pour vos réponses.

Posted by: serge75

L'image continue d'un compact est un compact...

Posted by: benj3850

oui mais pourquoi non vide ?

Posted by: serge75

l'image d'un ensemble non vide est non vide

Posted by: benj3850

d'accord merci bien.pour ce que j'ai mis c'est plutot juste ou il ya des trucs qui vont pas ?

Posted by: serge75

C'est juste mais mal maitrisé les deux moments où tu cites la continuité alors qu'elle n'intervient pas du tout, ce sont juste des raisonnements ensemblistes.
Reprenons :
1 En un premier temps, tu prouves par récurrence que la suite (En) est décroissante, et que les En sont non vides tel que tu l'as fait, mais sans mentionner la continuité.
2 En un second temps tu prouves à nouveau par récurrence que les En sont compacts (là la continuité de f intervient).

Tu peux bien sûr synthétiser tes deux récurrences en une seule, mais à titre personnel, je ne suis pas fan, ça fait des hyp de récurrences trop lourdes. Affaire de goût.

enfin, quand tu passes à l'intersection, tu as une intersection de fermés, donc un fermé, inclus dans E_0=E qui est compact ; donc un fermé d'un compact et donc un compact.
Voilà.

Posted by: benj3850

Merci beaucoup Serge pour ta réponse.
C'est vrai que je n'était pas sur quand j'annonçais la continuité de f, c'était pour être sur de ne rien oublier, lol

merci de l'avoir préciser.
@++

Posted by: benj3850

dans la suite de l'exercice il est demandé de montrer que f(E_infini)=E_infini.
je sais pas si on a le droit d'écrire que E_infini = lim(E_n) quand n->oo et comme f est continue on a alors que c'est égal à lim(f(E_n)) = lim(E_n+1) quand n->oo qui est égal à E_oo. (E_infini)
la suite j'ai besoin de votre aide car je bloque

il faut montre qu'il existe y appartenant à E_oo tel que pour tout x appartenant à E_oo, on ait :
d(f(x),x) >= d(f(y),y).
J'avais penser à utiliser la continuité de f pour dire que, sachant que pour tout x appartenant à E_oo d(f(x),x) >=0, alors on peut trouver un y appartenant lui aussi à E_oo tel que d(f(x),x) >= d(f(y),y) >=0 mais je sais pas si on peut écrire ça ?
Malgrès ca j'ai essayé la suite où il est demandé de montrer que f(y)!=y entraine une absurdité en calculant la distance de f(f(y)) à f(y) mais je n'arrive pas à voir le rapport avec la relation précédente (ni en utilisant la première propriété de la fonction f du début de l'exercice : d(f(x),f(y)) < d(x,y) ).

Posted by: allomomo

Salut,

Une fonction est k-lipschitzienne sur un intervalle I si :
$\large \forall (x,x_0)\in\mathbb{I}^2, |f(x)-f(x_0)|\le k|x-x_0|$

** SI f est k-lipschitzienne sur I ALORS ell est continue sur I

Démo :
f est continue sur I si :
$ \forall \epsilon >0, \exists \eta>0, \forall (x,x_0)\in I^2, \\ \quad \quad \Big ( |x-x_0|\le \eta \Longrightarrow |f(x)-f(x_0)|\le \epsilon \Big) $

On prend $\Large \epsilon = k \eta$

On a alors $\forall (x,x_0)\in I^2 \\ \quad \quad|f(x)-f(x_0)|\le k|x-x_0| $

Applique ce truc à ce que tu veux, ça doit marcher ... en faisant le bon choix

Posted by: benj3850

Je ne comprend pas trop, car pour la fonction f on sait seulement qu'elle est continue.

Posted by: benj3850

Sinon il y a une question hors de cette exercice que je me pose :
la définition d'une fonction différentiable si je me trompe pas, c'est f est différentiable en x ssi il existe l appartenant à L(E,F) telle que
lim || f(x+h) - f(x) - l(h) || / ||h|| = 0

mais comment à partir d'une fonction donnée on montre qu'elle est différentiable ? car l'application linéaire l on la trouve comment ? enfin je comprend pas trop tout ca lol.
merki pour vos réponses ;)

Posted by: benj3850

et sinon pour l'exercice, il y a t il une autre méthode pour montrer comme ils disent que f(y) != y mène à une absurdité ?