espace dual

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Posted by: klaus2008

Bonjour
J'ai un espace de Banach F quelconque et soit F^' l'espace dual de F.
Est-ce que (〖F^n)〗^'=〖F^')〗^n d’où n naturel ?et pouquoi ?
Merci


Posted by: busard_des_roseaux

bjr,

a-priori, non ça n'a rien à voir. même à isomorphisme près.


Posted by: busard_des_roseaux

Bonjour busard_des_roseaux

je suis désolé de te déranger , j'essaie de résoudre une
EDP (équation aux dérivées partielles) et j'ai besoin de démontrer cette étape
j' ai un espace de Banach F réflexif ,est ce que un produit fini de tels espaces de Banach F est encore réflexif ? et pourquoi?

et merci beaucoup en avance , Klaus.


Posted by: klaus2008

je pense que je réussis de le faire merci .


Posted by: busard_des_roseaux

euh, je suis désolé, je crois avoir trouvé un isomorphisme
entre le dual de F^n=(F^n)' et le produit des duals (F')^n, c'est l'inverse de mon précédent post.

Soit f \in (F^n)'
f est une forme linéaire qui agit sur des n-uplets.
f(x_1,x_2,...,x_n)=f(x_1,0,....,0)+f(0,x_2,0,..0)+ \cdots+f(0,0...,x_n)

l'application partielle x_1 \rightarrow f(x_1,0,...0)
est un élement de F', noté g_1(f).

En faisant la même chose sur toutes les coordonnées,
on a une application (linéaire) de
(F^n)' \rightarrow (F')^n
f \rightarrow (g_1,g_2,...,g_n)

Cette application a pour morphisme réciproque
(F')^n \rightarrow (F^n)'
f=(f_1,f_2,..,f_n) \rightarrow \Phi(f) définie par:

\Phi(f)(x_1,x_2,..,x_n)=f_1(x_1)+f_2(x_2)+..+f_n(x _n)


Conclusion:
les deux e.v (F^n)' et (F')^n sont bien isomorphes.


ça semble tenir la route ?

Cordialement,










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