equivalent d'une fonction

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Posted by: tize

Quelqun connait-il un moyen simple de d'avoir un équivalent en 1^- de 3$f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{1-x^{2n}}
Je pense que c'est un truc très classique que je ne connais pas...
La fonction est définie sur \mathbb{R} - \{-1;1\}


Posted by: tize

Excusez-moi, je me permet de faire remonter mon message juste une fois au cas ou des membres du forum ne l'auraient pas encore vu...et après je n'en parle plus...


Posted by: tize

Bonjour à tous,
j'ai, je crois, enfin trouvé une réponse à mon problème alors je la poste des fois que cela intéresse quelqun. Je me suis basé sur un oral de l'X qui utilisait la même méthode...si vous pensez que j'ai fait une erreur quelque part dites le moi s'il vous plait.

En posant 3$u_n(x)=\frac{x^n}{1-x^{2n}} on a f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x) qui est définie pour des raisons assez faciles à voir sur \mathbb{R}\\{-1;1\}.
En posant \varphi_x(t)=\frac{x^t}{1-x^{2t}} et en dérivant \varphi_x par rapport à t on peut aussi voir après quelques calculs que sur le domaine qui nous intéresse (|x|<1) \varphi_x'\leq 0 et la fonction \varphi_x est donc décroissante d'ou pour tout entier n>1 :
3$\int_{n}^{n+1}\varphi_x(t)dt \leq \int_{n}^{n+1}\varphi_x(n)dt = \int_{n-1}^{n}\varphi_x(n)dt \leq \int_{n-1}^{n}\varphi_x(t)dt
En sommant maintenant de n=2 à n=N et avec \varphi_x(n)=u_n(x), on obtient :
3$\int_{2}^{N+1}\varphi_x(t)dt \leq \sum\limits_{n=2}^{N}u_n(x) \leq \int_{1}^{N}\varphi_x(t)dt

Par ailleurs la fonction \varphi_x(t) est intégrable sur [1;+\infty[ car avec |x|<1, \varphi_x(t)\sim\limits_{t\to\infty}x^t=o\(\frac{1 }{t^2}\) d'ou en faisant tendre N\to\infty :

3$\int_{2}^{\infty}\varphi_x(t)dt \leq \sum\limits_{n=2}^{\infty}u_n(x) \leq \int_{1}^{\infty}\varphi_x(t)dt

Il ne reste plus qu'à calculer ces deux intégrales (faisant attention aux bornes, j'integre jusqu'à un point b que je fais tendre vers l'infini), un changement de variable (u=x^t) nous donne :
3$\frac{\ln\(\frac{1-x^2}{1+x^2}\)}{2\ln(x)} pour la première intégrale et 3$\frac{\ln\(\frac{1-x}{1+x}\)}{2\ln(x)} pour la deuxième.
Un calcul rapide nous montre que 3$\frac{\ln\(\frac{1-x^2}{1+x^2}\)}{2\ln(x)} \;\sim\limits_{1^-}\;\frac{\ln\(\frac{1-x}{1+x}\)}{2\ln(x)}\;\sim\limits_{1^-}\;\frac{\ln\(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\)}{x-1}\;\sim\limits_{1^-}\;\frac{\ln\(\sqrt{\frac{1-x}{2}}\)}{x-1}

On a donc (sauf erreur de calcul...) 3$\sum\limits_{n=2}^{\infty}u_n(x)\;\sim\limits_{1 ^-}\;\frac{\ln\(\sqrt{\frac{1-x}{2}}\)}{x-1}
et comme le premier terme u_1(x) est négligeable devant cet équivalent (simple) on a finalement :
3$f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{1-x^{2n}}\;\sim\limits_{1^-}\;\frac{\ln\(\sqrt{\frac{1-x}{2}}\)}{x-1}

Est-ce juste ? Y a-t-il des vérifications à ajouter que j'aurai oubliées ?
Merci


Posted by: sandrine_guillerme

salut ,

J'ai essayer de comprendre ton raisonnement je crois que je suis bien d'accord.. mais .. pour le calcul rapide que tu a fais en passant par les équivalement je ne suis pas d'accord avec toi je sais pas pourquoi j'ai un 2 de trop .. mais je sais pas après tout t'es meilleur que moi..


Posted by: tize

Citation:
Posté par sandrine_guillerme
salut , pour le calcul rapide que tu a fais en passant par les équivalement je ne suis pas d'accord avec toi je sais pas pourquoi j'ai un 2 de trop


Où ça exactement ?


Posted by: sandrine_guillerme

Un calcul rapide nous montre que ....


Posted by: tize

J'ai refait les calculs...je vois pas...à moins de refaire la même erreur à chaque fois...
Si quelqun peut trancher


Posted by: sandrine_guillerme

Oui peut etre que j'ai tort aussi .. quelqu"un est la ? ..

José si tu veux je peux demander ailleurs dans un autre forum?


Posted by: nuage

Salut,
Il me semble que le "calcul rapide" est exact.
Par ailleurs, et sans réussir à donner une démonstration convaicante, l'ai trouvé le même équivalant.

A+


Posted by: tize

Citation:
Posté par nuage
Salut,
Il me semble que le "calcul rapide" est exact.
Par ailleurs, et sans réussir à donner une démonstration convaicante, l'ai trouvé le même équivalant.

A+


OK, merci beaucoup
Cordialement
José










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