Equilibre et Mouvement d'un ludion

[hammana]

Première partie - Hydrostatique.

Un ballon élastique dégonflé a un volume

Quad il est gonflé jusqu’à atteindre le volume V, sa pression intérieure est équilibrée par la pression extérieure de l’air, égale à
1 Kg/cm²,
augmentée de la pression due à la tension élastique du ballon égale à :

Code: Tout sélectionner

(V-Vo)/(2-V)

- (Pression en Kg/cm², volumes en dm3).

Le ballon gonflé et lesté, ayant alors un volume de 1 dm3 et une masse de 0.6 Kg , est plongé dans un lac. On supposera que la température du lac et celle du ballon restent constantes et égales à celle de l’air ambiant.

(a) - Calculer la profondeur à laquelle le ballon est en équilibre. Montrez que cette position d’équilibre est instable.

Le ballon est abandonné sans vitesse initiale à une profondeur de 14 m. Il est soumis au cours de son mouvement ascendant à une résistance proportionnelle à sa vitesse et à sn maître couple, donnée par r la formule:

Code: Tout sélectionner

R = 0.8*y’*V^(3/2)

R = résistance en Kg, y’ = vitesse en m/sec, V = volume en dm3

( b) - Décrire l’allure du mouvement ascendant du ballon et établir les équations qui permettent de définir la loi de son mouvement.

Deuxième partie - Résolution numérique d’équations différentielles.

Si vous disposez de moyens informatiques adéquats, déterminez numériquement la loi du mouvement ascendant. Celle que je trouve est donnée par la courbe ci-dessous. Je donne également les courbes relatives à différentes valeurs de k, mais k=0.8 seul me paraît réaliste.

J’espère que mes raisonnements et mes calculs sont corrects, et donnent un sens à cet exercice (on n’est jamais à l’abri d’erreurs).
Je pense également que les méthodes de calcul numérique généralement disponibles datent d’avant l’ère de l’informatique. Les complications introduites pour diminuer la longueur et la complexité du calcul n’ont plus leur raison d’être.

[godzylla]

c'est une demande de correction de l'exercice avec les équations comme réponses.

ou tu souhaites trouver une loi de probabilité?

j'ai un peut de mal à suivre

[hammana]

Je m'intéresse à l'étude de l'évolution des états instables, (je pense u'il y a des analogies en électronique, en mécanique, en économie, en sociologie ...). Ces problèmes conduisent généralement à des équations différentielles qui ne peuvent être résolus que par des méthodes numériques auxquelles je m'inéresse également. J'ai imginé cet exemple pour lequel j'ai ma solution, mais d'autres approches peuvent être instructives.

[Dlzlogic]

Bonjour,
Le ludion me rappelle de bons souvenirs, mais mes compétences s'arrêtent là.
Juste une question, pourquoi l'état d'équilibre est instable ? Ou plutôt, l'état d'équilibre ne peut pas exister, s'il s'enfonce la pression augmente donc sa capacité de flottaison diminue et il continue à s'enfoncer et réciproquement.
Par contre, si je dis une énormité, j'en demande pardon d'avance.

[godzylla]

mon bestiaire:

https://plus.google.com/u/0/photos/109335721625874155363/albums/5714826954497226145

il doit y avoir ce que tu cherches.

[fatal_error]

@godzylla

dernier avertissement avant banissement.

Ton lien ne répond en rien à la discussion.
Parasiter une discussion pour faire ta propre pub n'est pas le bienvenu.
Tu as déjà été banni, la prochaine fois sera une définitive.

[hammana]

Bonjour,
Le ludion me rappelle de bons souvenirs, mais mes compétences s'arrêtent là.
Juste une question, pourquoi l'état d'équilibre est instable ? Ou plutôt, l'état d'équilibre ne peut pas exister, s'il s'enfonce la pression augmente donc sa capacité de flottaison diminue et il continue à s'enfoncer et réciproquement.
Par contre, si je dis une énormité, j'en demande pardon d'avance.

Au fur et à mesure qu'on l'enfonce son volume diminue sous l'effet de la pression de l'eau, donc la poussée d'Archimède aussi. Si on l'abandonne alors que que cette poussée est supérieure au poids, il remonte, et plus il remonte plus il a tendance à remonter. Si au delà d'une certtaine limite la poussée d'Archimède devient inférieure au poids, l'inverse se produit. (Un état est instable quand l'effet aide la cause, et stable quand l'effet s'oppopse à la cause. C'est pourquoi on ne trouve pas d'essence à l'air libre, et les forêts sont toujours sous la menace d'un incendie)

[godzylla]

Loi de Coulomb
« L'intensité de la force électrostatique entre deux charges électriques est proportionnelle au produit des deux charges et est inversement proportionnelle au carré de la distance entre les deux charges. La force est portée par la droite passant par les deux charges. »
je confond peut etre aussi le ludion avec cela.

[hammana]

Loi de Coulomb
« L'intensité de la force électrostatique entre deux charges électriques est proportionnelle au produit des deux charges et est inversement proportionnelle au carré de la distance entre les deux charges. La force est portée par la droite passant par les deux charges. »
je confond peut etre aussi le ludion avec cela.

Pour savoir qu'est-ce qu'un ludion, visiter le site :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Ludion_(physique)

[godzylla]

c'est bien pour faire une initiation sur les équations différentiels.

je viens de voir un documentaire sur les particules intriqués, je risque peut être de t'embrouiller.

[fatal_error]

@godzylla
Tu n'as vraisemblablement pas compris la raison de ton dernier banissement,
j'espere que celui ci te fera reflechir.

Tu noteras au passage que tes messages n'ajoutent aucune valeur a la discussion, et ne te donnent pas non plus l'air d'un savant tellement tes propos sont incoherents avec la discussion presente. Si tu veux avoir l'air intelligent commence par essayer de le devenir.

[Dlzlogic]

Au fur et à mesure qu'on l'enfonce son volume diminue sous l'effet de la pression de l'eau, donc la poussée d'Archimède aussi. Si on l'abandonne alors que que cette poussée est supérieure au poids, il remonte, et plus il remonte plus il a tendance à remonter. Si au delà d'une certtaine limite la poussée d'Archimède devient inférieure au poids, l'inverse se produit. (Un état est instable quand l'effet aide la cause, et stable quand l'effet s'oppopse à la cause. C'est pourquoi on ne trouve pas d'essence à l'air libre, et les forêts sont toujours sous la menace d'un incendie)

Oui, si on le lâche à une certaine profondeur, et qu'il remonte, c'est que la poussée d'Archimède est plus forte.
Plus il remonte, plus le ballon augmente de volume, plus la poussée d'Archimède augmente donc plus vite il remonte.
Est-il possible que la poussée d'Archimède devienne inférieure au poids ? A mon avis, non, tant qu'il n'aura pas atteint la surface, mais c'est là que je n'en suis pas sûr.
Pour moi, un ludion monte ou descend selon qu'on appuie ou non sur la membrane qui permet de faire varier la pression atmosphérique.
Donc, je ne comprends pas qu'il puisse atteindre un équilibre, même instable.

[Sylviel]

Effectivement je ne vois pas d'équilibre instable dans le ludion. En revanche si on prends le mobile à l'intérieur du Ludion et qu'on le met dans une surface d'eau libre (une piscine par ex) là il existe bien un état d'équilibre instable. Mais je ne comprends pas vraiment ce que tu veux non plus.

[Mathusalem]

Hmm. Je comprends pas vos interventions. Un corps compressible (c'est le cas ici) qui suit la loi des gaz parfaits (lien entre son volume et la pression autour) aura un équilibre instable à une certaine profondeur. On le voit facilement en écrivant soit : l'équilibre des forces en fonction de z et en introduisant une perturbation où en calculant le potentiel du ballon et voir qu'il a un maximum à la position d'équilibre.

[Dlzlogic]

Je prends le problème autrement.
On lâche le ludion à une certaine profondeur. Il a une masse M et un volume V.
On suppose que la poussée d'Archimède résultant de V est supérieure à M, donc le ludion remonte.
A une certaine altitude supérieure à l'altitude initiale, sa masse n'a pas changé, et comme la pression est inférieure, son volume V a augmenté, la poussée d'Archimède va augmenter, la vitesse ascensionnelle aussi.
Entre le point de lâché initial et la surface, la masse M reste constante et le volume ne cesse d'augmenter. Le ludion va donc atteindre la surface sans s'arrêter, donc sans trouver de position d'équilibre. En tout cas, c'est mon avis.

Dans la pratique, un ludion est plutôt constitué d'un volume ne comportant qu'un seule orifice situé en partie basse, l'ensemble étant légèrement lesté.
On rempli partiellement d'eau le volume, et on plonge le ludion dans un récipient d'eau fermé par une membrane. Suivant la proportion de poids et de vide, il va soit aller au bond, soit flotter.
S'il va au fond, on pince le membrane et on la tire vers le haut. Cela a pour effet de diminuer la pression que l'eau va transmettre directement à l'air qu'il contient. Ce volume d'air va augmenter, le ludion va remonter.
L'opération inverse si le ludion flotte en position initiale.
La plus grande difficulté pour réaliser cette expérience consiste à trouver le récipient qui convient.

[Black Jack]

a)

A pression atmosphérique externe (1 kg/cm²):
V = 1dm³
P interne gaz = 1 + ((V-Vo)/(2-V)= 1,5 kg/cm²

Si V passe à 0,6 dm³ (pour équilibre) :
P interne gaz = 1,5 * 1/0,6 = 2,5 kg/cm²
Pression élastique : (0,6-0,5)/(2-0,5) = 0,1/1,5 = 0,067 kg/cm²
Pression externe = 2,5 + 0,067 = 2,567 kg/cm²
Pression hydrostatique: 2,567 - 1 = 1,567 kg/cm²
Profondeur d'équilibre : 15,67 m

Si la profondeur augmente, V diminue, la poussée d'archimède diminue, le poids restant le même, la résultante des forces sur le ballon est vers le bas ... et donc le ballon part encore plus fort vers le bas.
Si la profondeur diminue, V augmente, la poussée d'archimède augmente, le poids restant le même, la résultante des forces sur le ballon est vers le haut ... et donc le ballon part encore plus fort vers le haut.

La position du ballon à la profondeur de 15,67 m est une position d'équilibre, mais elle est instable car si on déplace le ballon soit vers le haut, soit vers le bas à partir de la position d'équilibre , le ballon poursuit son chemin dans le sens (haut ou bas) vers lequel on l'a déplacé.

Si on abandonne le ballon à une profondeur de 14 m, il est plus haut que la position d'équilibre ... et donc le ballon va filer vers le haut.

...

:zen:

[Dlzlogic]

Question :
Pourrait-t-on imaginer un appareil, qui serait constitué de 2 ludions, liés par une tige, le ludion supérieur irait vers le haut, l'inférieur, vers le bas, les choses étant équilibrée de façon qu'une fois mis en place à la bonne profondeur, il y reste, chacun agissant pour maintenir une équilibre stable à l'ensemble ?
Je crois me souvenir que ceci existe. :mur:

[Mathusalem]

Question :
Pourrait-t-on imaginer un appareil, qui serait constitué de 2 ludions, liés par une tige, le ludion supérieur irait vers le haut, l'inférieur, vers le bas, les choses étant équilibrée de façon qu'une fois mis en place à la bonne profondeur, il y reste, chacun agissant pour maintenir une équilibre stable à l'ensemble ?
Je crois me souvenir que ceci existe. :mur:

Salut, ça ne marcherait pas. Car dès que le centre de masse du système se déplacerait par rapport à la position d'équilibre, l'un des ludions serait attiré dans un sens plus fort que l'autre dans l'autre sens. Donc l'équilibre est de nouveau instable.

[Mathusalem]

Je prends le problème autrement.
On lâche le ludion à une certaine profondeur. Il a une masse M et un volume V.
On suppose que la poussée d'Archimède résultant de V est supérieure à M, donc le ludion remonte.
A une certaine altitude supérieure à l'altitude initiale, sa masse n'a pas changé, et comme la pression est inférieure, son volume V a augmenté, la poussée d'Archimède va augmenter, la vitesse ascensionnelle aussi.
Entre le point de lâché initial et la surface, la masse M reste constante et le volume ne cesse d'augmenter. Le ludion va donc atteindre la surface sans s'arrêter, donc sans trouver de position d'équilibre. En tout cas, c'est mon avis.

Oui tu as raison, à la surface eau-air, le ballon le stabilise. Mais c'est un autre problème. Là on regarde le problème lorsque le ballon est complètement immergé dans l'eau. Et a une certaine profondeur aussi il est en équilibre. Mais, cet équilibre est instable. Si le ballon monte un peu par rapport à cette position, il se passe ce que tu dis. Si il descend un peu, il part dans les profondeurs.

Si tu veux, prends ta situation, et imagine qu'on force le ballon a descendre. Aura-t-il toujours tendance à remonter ? non. Il y a une position où il est stable. Cette position défini la limite entre là où le ballon remonte et où le ballon va en profondeurs.

[hammana]

a)

A pression atmosphérique externe (1 kg/cm²):
V = 1dm³
P interne gaz = 1 + ((V-Vo)/(2-V)= 1,5 kg/cm²

Si V passe à 0,6 dm³ (pour équilibre) :
P interne gaz = 1,5 * 1/0,6 = 2,5 kg/cm²
Pression élastique : (0,6-0,5)/(2-0,5) = 0,1/1,5 = 0,067 kg/cm²
Pression externe = 2,5 + 0,067 = 2,567 kg/cm²
Pression hydrostatique: 2,567 - 1 = 1,567 kg/cm²
Profondeur d'équilibre : 15,67 m

zen:

Analyse très correcte. Je pense qu'il faut revoir les équations comme suit

Pression élastique : (0,6-0,5)/(2-0,6) = 0,1/1,4 = 0,0714
(Le dénominateur (2-V) dans la pression élastique signifie que la limite d'élasticité est atteinte lorsque le volume approche 2 dm3. Le ballon explose bien avant.)

P. interne = 2,5 kg/cm² = Pression élastique +Pression atmosphérique + Pression hydrostatique.
Je trouve une position d'équilibre à 14,29 m.