on note f_n(x)=xcos^n(x).soit x_n de [o pi/2]tel que f_n(x_n) soit
maximal
1)je veux montrer l'existance et l'unicite de x_n.
puis la limit x_n n tend infini
2)montrer que x_n^2 equivalent 1/n (n tend vers l'infini) puis trouver
un equivalent de f_n(x_n).]
Posted by: Pierre Capdevila
yassine a écrit
> On note f_n(x) = x * cos^n(x).
> Soit x_n de [0, pi/2] tel que f_n(x_n) soit maximal.
> 1) Montrer l'existence et l'unicité de x_n
> puis la limite de x_n quand n tend infini.
> 2) Montrer que (x_n)^2 ~ 1/n (quand n tend vers
> l'infini) puis trouver un equivalent de f_n(x_n)
1)
a) Existence de x_n :
f_n est continue dans [0, pi/2]. Elle donc bornée et
elle atteint ses bornes. Elle atteint en particulier son
maximum en un point x_n de [0, pi/2].
De plus f_n est positive ou nulle dans [0, pi/2] et
f_n(0) = f_n(pi/2) = 0. Donc f_n(x_n) > 0 , donc
x_n est dans ]0, pi/2[
b) Unicité de x_n :
La dérivée de f_n(x) est
f '_n(x) = cos^(n-1)(x) * [cos(x) - n*x*sin(x)]
Les solutions de f '_n(x) = 0 pour x dans ]0, pi/2[
sont les solutions de l'équation :
cos(x) - n*x*sin(x) = 0 (1)
La fonction cos(x) est strictement décroissante
et la fonction n*x*sin(x) est strictement croissante.
La fonction cos(x) = n*x*sin(x) est donc strictement
décroissante donc la solution de (1) est unique.
c) Limite de x_n.
On peut majorer x_n en remplaçant cos(x) par 1 et
sin(x) par pi*x/2 dans (1). Cela doit donner sauf erreur
x_n <= 2 / (n*pi)
"yassine" <y.assa@voila.fr> a écrit dans le message news: f19812a0.0309121528.1d9b145e@posting.google.com...
> merci de vouloir m'aider a resoudre cet exercice:
>
> on note f_n(x)=xcos^n(x).soit x_n de [o pi/2]tel que f_n(x_n) soit
> maximal
> 1)je veux montrer l'existance et l'unicite de x_n.
> puis la limit x_n n tend infini
> 2)montrer que x_n^2 equivalent 1/n (n tend vers l'infini) puis trouver
> un equivalent de f_n(x_n).]
x_n correspond à la valeur d'annulation de la dérivée donc x_n*tan(x_n)=1/n
d'où l'équivalent demandé puisque x_n tend vers 0.
Posted by: Pierre Capdevila
yassine a écrit
> 2) Montrer que (x_n)^2 ~ 1/n (quand n tend vers
> l'infini) puis trouver un equivalent de f_n(x_n)
Je suis revenu.
Posons g_n(x) = cos(x) - n*x*sin(x) = 0
On veut trouver x_n, unique solution de l'équation :
g_n(x) = 0
Le développement limité au second ordre de g_n
au voisinage d'un point a est :
g_n(a+h) = g_n(a) + h * g'_n(a) + (h²/2) * g''_n(a) + o(h²)
Faisons a = 0. Comme :
g_n(0) = 1
g'_n(0) = 0
g''_n(0) = -1-2*n
il vient :
g_n(h) = 1 - (h²/2) * (1+2*n) + o(h²)
c'est à dire :
(h²/2) * (1+2*n) ~ 1 - g_n(h)
en particulier pour h = x_n :
[(x_n)²/2] * (1+2*n) ~ 1
"Pascal" <bidon@wanadoo.invalid> wrote in message news:<bjv8oe$oia$1@news-reader2.wanadoo.fr>...
> "yassine" <y.assa@voila.fr> a écrit dans le message news:
> f19812a0.0309121528.1d9b145e@posting.google.com...
> > merci de vouloir m'aider a resoudre cet exercice:
> >
> > on note f_n(x)=xcos^n(x).soit x_n de [o pi/2]tel que f_n(x_n) soit
> > maximal
> > 1)je veux montrer l'existance et l'unicite de x_n.
> > puis la limit x_n n tend infini
> > 2)montrer que x_n^2 equivalent 1/n (n tend vers l'infini) puis trouver
> > un equivalent de f_n(x_n).]
>
> x_n correspond à la valeur d'annulation de la dérivée donc x_n*tan(x_n)=1/n
> d'où l'équivalent demandé puisque x_n tend vers 0.
merci infiniment
Posted by: yassine
"Pierre Capdevila" <voir_ma@signature.de> wrote in message news:<bjv4a9$ne69n$1@ID-138445.news.uni-berlin.de>...
> yassine a écrit
> > On note f_n(x) = x * cos^n(x).
> > Soit x_n de [0, pi/2] tel que f_n(x_n) soit maximal.
> > 1) Montrer l'existence et l'unicité de x_n
> > puis la limite de x_n quand n tend infini.
> > 2) Montrer que (x_n)^2 ~ 1/n (quand n tend vers
> > l'infini) puis trouver un equivalent de f_n(x_n)
>
> 1)
> a) Existence de x_n :
>
> f_n est continue dans [0, pi/2]. Elle donc bornée et
> elle atteint ses bornes. Elle atteint en particulier son
> maximum en un point x_n de [0, pi/2].
>
> De plus f_n est positive ou nulle dans [0, pi/2] et
> f_n(0) = f_n(pi/2) = 0. Donc f_n(x_n) > 0 , donc
> x_n est dans ]0, pi/2[
>
> b) Unicité de x_n :
>
> La dérivée de f_n(x) est
> f '_n(x) = cos^(n-1)(x) * [cos(x) - n*x*sin(x)]
>
> Les solutions de f '_n(x) = 0 pour x dans ]0, pi/2[
> sont les solutions de l'équation :
> cos(x) - n*x*sin(x) = 0 (1)
>
> La fonction cos(x) est strictement décroissante
> et la fonction n*x*sin(x) est strictement croissante.
> La fonction cos(x) = n*x*sin(x) est donc strictement
> décroissante donc la solution de (1) est unique.
>
> c) Limite de x_n.
>
> On peut majorer x_n en remplaçant cos(x) par 1 et
> sin(x) par pi*x/2 dans (1). Cela doit donner sauf erreur
> x_n <= 2 / (n*pi)
>
je ne sais pas comment vous avez fait pour trouver ça tout ce que je vois c que
x_n*sin(x_n)<=1/n apres avoir majoré cos(x_n) dans cos(x_n)=n*x_n*sin(x_n)
>
Donc x_n tend vers 0.
>
> J'arrête là désolé ...
Posted by: Pierre Capdevila
yassine a écrit
> je ne sais pas comment vous avez fait
> pour trouver ça tout ce que je vois c que
> x_n*sin(x_n)<=1/n apres avoir majoré
> cos(x_n) dans cos(x_n)=n*x_n*sin(x_n)
On peut aussi minorer le sinus.
Trace la courbe de la fonction f(t) = sin(t)
pour t compris entre 0 et pi/2. Tu verras que
la courbe est au-dessus de la droite OM, où
M est le point (pi/2, 1).
Puisque la droite a pour équation g(t) = 2*t/pi,
on en déduit que :
0 <= t <= pi/2 => sin(t) >= 2*t/ pi
C'est une minoration classique du sinus, et tu
constates que je m'étais trompé. On obtient
en fait :
"Pierre Capdevila" <voir_ma@signature.de> wrote in message news:<bk1e4u$oasoo$1@ID-138445.news.uni-berlin.de>...
> yassine a écrit
> > je ne sais pas comment vous avez fait
> > pour trouver ça tout ce que je vois c que
> > x_n*sin(x_n)<=1/n apres avoir majoré
> > cos(x_n) dans cos(x_n)=n*x_n*sin(x_n)
>
> On peut aussi minorer le sinus.
>
> Trace la courbe de la fonction f(t) = sin(t)
> pour t compris entre 0 et pi/2. Tu verras que
> la courbe est au-dessus de la droite OM, où
> M est le point (pi/2, 1).
>
> Puisque la droite a pour équation g(t) = 2*t/pi,
> on en déduit que :
> 0 <= t <= pi/2 => sin(t) >= 2*t/ pi
>
> C'est une minoration classique du sinus, et tu
> constates que je m'étais trompé. On obtient
> en fait :
>
> cos(x_n) - n * x_n * sin(x_n) = 0 (1)
>
> D'où :
> 1 - n * x_n * 2 * x_n / pi >= 0
>
> D'où :
> (x_n)² <= pi / (2*n)
>
> Ce qui montre que x_n tend vers 0.
>
> Mille excuses.
merci bien ...j'ignorais cette minoration mais j'ai pensé a autre
chose c que sin(x)<=x ce qui donne sin^2(x_n)<=1/n donc sin(x_n)tend
vers 0 et puis x_n tend vers 0 c juste je pense?
Posted by: Pierre Capdevila
yassine a écrit
> merci bien ...j'ignorais cette minoration mais j'ai pensé a autre
> chose c que sin(x)<=x ce qui donne sin^2(x_n)<=1/n donc sin(x_n)tend
> vers 0 et puis x_n tend vers 0 c juste je pense?