Equations fonctionnelles

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: lapras

Bonsoir,
1)Trouver toutes les fonctions f telles que :
f:IR->IR
\forall (x,y) \in IR^2, f(x^2 - y^2) = (x-y)(f(x) + f(y))


2)Trouver toutes les fonctions f telles que :
f:IN->IN
\forall (m, n) \in IN^2, f(m^2 + n^2) = f(m)^2 + f(n)^2

Pour la deuxieme, je la donne pour vous, mais s'il vous plait ne poster pas la solution sur le forum, car elle fait partie des envois animaths de mars qui ne sont pas encore finis...

Bon courage !


Posted by: ffpower

Pas d hypotheses de regularité pour la premiere?


Posted by: lapras

Non aucune ;)
En fait elle est tres simple, faut juste penser a qqchose...


Posted by: Help

Pour la première :

En prenant x=0 et y=0, on trouve f(0)=0

En prenant -x et y=0, on trouve f((-x)²) = (-x)(f(-x)), soit f(x²)=-x f(-x)
or f(x²) = x f(x) donc pour x<>0, f(-x)=-f(x). f est impaire

enfin, en appliquant à x et y=1 puis à x et y=-1, cela donne
f(x²-1)=(x-1)(f(x)+f(1))=(x+1)(f(x)+f(-1))
f est impaire donc f(-1)=-f(1) et l'égalité devient
(x-1)(f(x)+f(1))=(x+1)(f(x)-f(1))
on développe et on simplifie, il vient 2x f(1) = 2 f(x) et donc f(x) = x f(1)

Donc pour moi, la solution est l'ensemble des fonctions linéaires (f(x)=ax)


Posted by: lapras

Oui c'est ca , bon raisonnement : tu as utilisé les symétries de l'équation fonctionnelle


Posted by: lapras

C'est bon pour la 2eme l'envoi est terminé vous pouvez poster votre solution !


Posted by: ThSQ

Si f(1) = 0 alors f=0

Si f(1) != 0 :

f(0) = 2f(0) => f(0) = 0.
f(2) = 2
f(4) = 4
f(5) = 5

...

Ensuite on écrit un carré sous forme de carrés plus petits :

(4n+1)² = (4n-1)² + (2n+2)²-(2n-2)²
....

Il suffit d'avoir commencé et f(n) = n


Posted by: lapras

2)Trouver toutes les fonctions f telles que :
f:IN-&gt;IN
\forall (m, n) \in IN^2, f(m^2 + n^2) = f(m)^2 + f(n)^2

Jolie solution, tu as trouvé la bonne factorisation
on peut utiliser ce lemme de fermat :
p premier tel que p=1[4] <=> il existe a et b entiers naturels tels que p = a² + b²
puis on peut utiliser l'égalité
(a²+b²)(c²+d²) = (ac+bd)² + (ad - bc)²
ce qui montre
que tout entier congru a 1 mod 4 peut etre calculé grace a cette identité remarquable
ce qui nous fait penser aux restes dans la division par 4 et nous fait donc chercher l'égalité :
(4q+r)² = (4q-r)² + (2q+2r)² - (2q-2r)²
par récurrence forte, f(n) = n
autre solution :

tout nombre entier naturel peut s'écrire sous la forme de 5x+2y
avec x et y entiers
preuve :
théoreme de bezout :
il existe (u ; v) dans Z² tels que 5u + 2v = 1
=>
n = 5*(un) + 2*(vn)
x = u*n
y = v*n
ce lemme démontrer, on peut "remarquer que" :
(5x+2y)² + y² = (4y + x)²+ (3y + 2x)²
par récurrence forte, on fini par démontrer que f(n) = n

cqfd


Posted by: lapras

Citation:
Déterminer toutes les fonctions f : N -> N telles que, pour tout entier n > 0 :
f(f(f(n))) + f(f(n)) + f(n) = 3n


Bonne chance


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par lapras
Bonne chance


Ca a pas l'air dur.

f est injective.

f(0) = 0.

f^n(1) >= 1 et 3 >= 3f(1) >= 3
....


f(n) = n


Posted by: lapras

Nan c'est pas dur du tout, mais pour ceux qui ne sont pas habitués aux équas fonctionnelles je trouve que ca fait un bon entrainement.


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par lapras
Nan c'est pas dur du tout, mais pour ceux qui ne sont pas habitués aux équas fonctionnelles je trouve que ca fait un bon entrainement.


Oui c'est un joli problème, intéressant !

Comme tu avais dit "Bonne chance" je n'attendais à un truc vraiment très dur, c'était pas pour dire que le pb était facile.


Posted by: ffpower

Tiens ca m inspire..qu est ce qu il se passe dans la version continue...Pour tout x de R,fofof(x)+fof(x)+f(x)=3x..J ai pas encore cherché,mais ca a l air amusant...


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par ffpower
Tiens ca m inspire..qu est ce qu il se passe dans la version continue...Pour tout x de R,fofof(x)+fof(x)+f(x)=3x..J ai pas encore cherché,mais ca a l air amusant...


J'ai pas trop le temps d'y réfléchir à deux fois, j'espère que c'est bon :

f est injective de la même façon.

Injectif + C° => strictement monotone.


* f strict croissante.

Si f(x) < x (resp > x) alors f^n(x) < x (resp > x) et contradiction


* f strict décroissante

- Si f(x) < x
alors f²(x) > f(x) et f^3(x) < f²(x)
alors f^3(x) + f(x) < x + f²(x) et donc x < f²(x) et contradiction

Pareil si f(x) > x

Conclusion f(x) = x est la seule soluce.


Posted by: ffpower

Euh,pk f²(x)>x est contrad?


Posted by: ThSQ

Regarde l'écart entre x et f^(2n)(x) et entre x et f^(2n+1)(x)




(je ferais mieux de bosse ma physique au lieu de faire joujou )


Posted by: ffpower

Ok j ai finalement reussi a obtenir le resultat par ta methode apres 3/4 d heures de bidouilles,mais t aurai pu expliciter un peu plus lol.Je suis meme pas sur d avoir conclu de la meme facon.
donc f²(x)>x,et en reappliquant f²,f^4(x)>x
or 3f(x)=f²(x)+f^3(x)+f^4(x)>f²(x)+f^3(x)+x
En rajoutant f(x) des 2 cotés,on obtient
4f(x)>f(x)+ f²(x)+f^3(x)+x=4x contradiction

J avais moi aussi reussi l exo,mais par des methodes bien plus compliquees(suites reccurentes tout ca tout ca^^)


Posted by: lapras

je propose cette équation fonctionnelle (je l'ai inventée) :
f:\mathbb{Z}-&gt;\mathbb{Z}
n\in \mathbb{N}
\forall a_i \in \mathbb{Z}
f(a_1^n + a_2^n + ... + a_n^n) = f(a_1)^n + f(a_2)^n + ... + f(a_n)^n
Bonne chance


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par ffpower
t aurai pu expliciter un peu plus lol.


Hier soirée exclusivement consacrée à la physique (sauf 1/4 heure pour ton exo) car mon retard dans cette matière avait largement dépassé le seuil d'alerte

Bon sinon j'ai fait en gros comme toi mais de manière "visuelle" en regardant comment se distribuent et s'écartent les valeurs de f^n(x) autour de x.


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par lapras
n, \forall a_i \in IN


IN, c'est fait exprès ? Et les valeurs < 0 ?


Posted by: lapras

Je ne sais pas faire le symbole "naturels" en laTex donc j'ai mis IN
pardon :
les a_i sont relatifs, et n est un entier naturel fixé.
et f des relatifs vers les relatifs


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par lapras
Je ne sais pas faire le symbole "naturels"


\mathbb{N} = \mathbb{N}
\mathbb{Z} = \mathbb{Z}
....


Posted by: lapras

Merci !
c'est modifié...


Posted by: Imod

Citation:
Posté par lapras
Je ne sais pas faire le symbole "naturels" en laTex donc j'ai mis IN

Un petit conseil si comme moi tu as du mal à assimiler tous ces codes , en passant la souris sur le code que quelqu'un à réussi à produire , tu peux le déchiffrer . Essaie avec \frac{2}{3}\sqrt{3}

Imod


Posted by: lapras

Merci pour l'astuce !


Posted by: lapras

Pour le cas n = 3 (ce qui veut dire f(x^3 + y^3 + z^3) = f(x)^3 + f(y)^3 + f(z)^3 )
je propose ma solution :
On "remarque que" :
(a + b)^3 + (5a + 9b)^3 + (5a + 5b)^3 = (3a + 7b)^3 + (2a)^3 + (6a+8b)^3
de même que pour n = 2, par bezout, tout nombre entier s'écrit sous la forme de 5a + 9b (car (5 , 9) = 1 )
d'où, par récurrence forte, f(n) = n










-