Equations fonctionnelles

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Posted by: Daniel-Jackson

Salut tout le monde ,

Voilà je suis tombé sur un exo de la vieille école et je bloque un peu là dessus.

Trouver tous les morphisme de groupes continus f: \mathbb{R}^{*}---> \mathbb{R}^{+} satisfaisant l'équation f(xy)= f(x)f(y) .

Je sais que se sont les morphismes du type : f(x)=|x|^{\alpha} .
Avec cette intuition je sais quoi faire et j'ai même réussi à résoudre le probleme,
mais j'aimerais le "découvrir" sans savoir au préalable ce que c'est que les fonctions puissances .


Merci d'avance .


Posted by: aviateurpilot

Citation:
Posté par Daniel-Jackson
Salut tout le monde ,

Voilà je suis tombé sur un exo de la vieille école et je bloque un peu là dessus.

Trouver tous les morphisme de groupes continus f: \mathbb{R}^{*}---> \mathbb{R}^{+} satisfaisant l'équation f(xy)= f(x)f(y) .

Je sais que se sont les morphismes du type : f(x)=|x|^{\alpha} .
Avec cette intuition je sais quoi faire et j'ai même réussi à résoudre le probleme,
mais j'aimerais le "découvrir" sans savoir au préalable ce que c'est que les fonctions puissances .


Merci d'avance .

si il exsite a tel que f(a)=0
alors klk soit x, f(x)=f(x/a)f(a)=0
donc f est nulle

sinon klk soit x, f(x)\neq 0
dans ce cas on peux travaille avec Ln(..) pour rendre les produits des sommes
on a f(e^x.e^y)=f(e^x)f(e^y)
donc f(e^{x+y})=f(e^x)f(e^y) (voila, mtn il y a une somme a l'interieur de f(...) )
ln(f(e^{x+y}))=ln(f(e^x))+ln(f(e^y))
pose par exemple g(x)=ln(f(e^x)) et essaye de trouver f(x)


Posted by: Daniel-Jackson

Ah oui pardon f ne s'annule jamais !
f est à valeur dans R*+, positives strictes.


Posted by: Daniel-Jackson

Citation:
Posté par aviateurpilot
si il exsite a tel que f(a)=0
alors klk soit x, f(x)=f(x/a)f(a)=0
donc f est nulle


Mais cette situation ne peut arriver car on a un morphisme de groupe donc f(1)=1 .


Posted by: aviateurpilot

Citation:
Posté par Daniel-Jackson
Mais cette situation ne peut arriver car on a un morphisme de groupe donc f(1)=1 .

donc f prend des valeur dan {R_*}^+ c'est bien pour utilise ln et exp


Posted by: Daniel-Jackson

Citation:
Posté par aviateurpilot
si il exsite a tel que f(a)=0
alors klk soit x, f(x)=f(x/a)f(a)=0
donc f est nulle

donc f(e^{x+y})=f(e^x)f(e^y) (voila, mtn il y a une somme a l'interieur de f(...) )

Bonne idée masi le seul ennui c'est qu'au départ dans R* , j'ai une structure multiplicative , mais je pense que ça doit quand même aboutir à partir de là , je vais tenter le coup et voir si je ne peux trouver g d'abord.


Posted by: Daniel-Jackson

Citation:
Posté par aviateurpilot
donc f prend des valeur dan {R_*}^+ c'est bien pour utilise ln et exp


J'avais utlisier ln et exp pour trouver l'exposant qu'il faut , mai sça c'est en sachant que c'est déjà de la forme |x|^{\alpha} et j'ai construit un morphisme en montrant que son noyau était R* en entier et on obtient le résultat.


Posted by: Daniel-Jackson

Oui en fait je vois le truc maintenant .

On montre sans difficultés que g est linéaire et tout s'en suit ......
En tout cas merci .










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