équations différentielles second ordre

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Posted by: theluckyluke

Salut tout le monde,

j'ai une question simple sur les équations différentielles du second ordre

Réoudre : 3$ y'' + \omega^2 y = 0 3$ ( \omega \in R*_+ fixé, 3$ y : R \longrightarrow \R)

L'équation caractéristique 3$ r^2+\omega^2=0 admet deux solutions complexes non réelles : 3$ i \omega et 3$ -i \omega

J'ai la solution mais je ne comprend pas comment l'obtenir. Pourriez-vous me dire comment faire?

Merci beaucoup!


Posted by: fahr451

bonsoir
tu veux dire la résolution explicite ?


Posted by: theluckyluke

si c'est possible oui


Posted by: fahr451

il y a plein de méthodes

en voici une

on vérifie que
f0(x) = exp (i w) est solution
ensuite on cherche toutes les solutions sous la forme

f = gf0 ce qui est possible car f0 ne s'annule pas

pour f deux fois dérivable on peut bien définir g par g = f /f0

g est alors deux fois dérivable

on dérive:

f ' = gf '0 +g'f0
f " = g f "0 + 2g ' f '0 + g " f0

f est solution ssi :
(je te laisse écrire l équation différentielle vérifiée par g; le terme en g est nul car f0 est sol)

on a donc en posant z = g ' une équation du premier ordre en z et ça tu sais la résoudre


Posted by: theluckyluke

en fait, je sais que la solution est de la forme
3$ S_0 = \\ R \longrightarrow R \quad \quad ; \quad (A;B) \in R^2 \\ x \longrightarrow A cos \omega x + B sin \omega x


Posted by: theluckyluke

Citation:
Posté par fahr451
il y a plein de méthodes

en voici une

on vérifie que
f0(x) = exp (i w) est solution
ensuite on cherche toutes les solutions sous la forme

f = gf0 ce qui est possible car f0 ne s'annule pas

pour f deux fois dérivable on peut bien définir g par g = f /f0

g est alors deux fois dérivable

on dérive:

f ' = gf '0 +g'f0
f " = g f "0 + 2g ' f '0 + g " f0

f est solution ssi :
(je te laisse écrire l équation différentielle vérifiée par g; le terme en g est nul car f0 est sol)

on a donc en posant z = g ' une équation du premier ordre en z et ça tu sais la résoudre


ok je vois, je vais essayer je te dit si c'est bon


Posted by: fahr451

remarque j 'ai fait la résolution pour les fonctions à valeurs complexes

ensuite pour les sols réelles il faut encore un peu travailler


Posted by: theluckyluke

juste pour essayer avec une méthode autre...
bon, j'ai juste abordé ça aujourd'hui donc c'est carrément tout neuf, donc dsl des absurdités qui vont suivre...

Résoudre 3$ y" + \omega^2y=0
Avec l'équation caractéristique 3$ r^2+ \omega^2=0 on trouve 3$ r_1 = i \omega et 3$ r_2 = - i \omega

Donc les solutions sont de la forme : 3$ y = C_1 e^{\omega i x} + C_2 e^{- \omega i x} avec 3$ C_1 et 3$ C_2 constantes réelles

Est-ce que déjà ça c'est juste?


Posted by: Franck75019

Exact, maintenant tu pourras retrouver des sin et cos en utilisant leurs expressions avec les exponentielles complexes


Posted by: nuage

Salut,
Citation:
Posté par theluckyluke
juste pour essayer avec une méthode autre...
bon, j'ai juste abordé ça aujourd'hui donc c'est carrément tout neuf, donc dsl des absurdités qui vont suivre...

Résoudre 3$ y" + \omega^2y=0
Avec l'équation caractéristique 3$ r^2+ \omega^2=0 on trouve 3$ r_1 = i \omega et 3$ r_2 = - i \omega

Donc les solutions sont de la forme : 3$ y = C_1 e^{\omega i x} + C_2 e^{- \omega i x} avec 3$ C_1 et 3$ C_2 constantes réelles

Est-ce que déjà ça c'est juste?

si on veut une fonction réelle il vaut mieux que que 3$ C_1 et 3$ C_2 soit des constantes complexes bien choisies.


Posted by: fahr451

où est la preuve ?

jet 'ai donné une preuve


Posted by: theluckyluke

Citation:
Résoudre 3$ y" + \omega^2y=0
Avec l'équation caractéristique 3$ r^2+ \omega^2=0 on trouve 3$ r_1 = i \omega et 3$ r_2 = - i \omega

Donc les solutions sont de la forme : 3$ y = C_1 e^{\omega i x} + C_2 e^{- \omega i x} avec 3$ C_1 et 3$ C_2 constantes réelles

Est-ce que déjà ça c'est juste?


bon bah puisque c'est bon, je continue :


Donc les solutions sont de la forme : 3$ y = C_1 e^{\omega i x} + C_2 e^{- \omega i x}

3$ \Longleftrightarrow y= C_1 ( \cos wx + i \sin wx) + C_2 ( \cos (-wx) + i \sin (-wx))

3$ \Longleftrightarrow y= C_1 ( \cos wx + i \sin wx) + C_2 ( \cos wx - i \sin wx)

3$ \Longleftrightarrow y= (C_1+C_2) \cos wx + i(C_1-C_2) \sin wx

3$ \Longleftrightarrow y= A \times \cos wx + B \times \sin wx avec 3$ A = (C_1+C_2) et 3$ B = i(C_1-C_2)



Le truc que je ne comprend pas, c'est que la solution (elle est donnée) est :

3$ S_0 = \\ R \longrightarrow R \quad \quad ; \quad (A;B) \in R^2 \\ x \longrightarrow A cos \omega x + B sin \omega x
Mais la où j'arrive, je n'ai pas 3$ (A;B) \in R^2
c'est pour ça que cela me gène


Posted by: theluckyluke

quelqu'un pourrait-il me confimer ou m'expliquer?

merci


Posted by: fahr451

Citation:
Posté par fahr451
il y a plein de méthodes

en voici une

on vérifie que
f0(x) = exp (i w) est solution
ensuite on cherche toutes les solutions sous la forme

f = gf0 ce qui est possible car f0 ne s'annule pas

pour f deux fois dérivable on peut bien définir g par g = f /f0

g est alors deux fois dérivable

on dérive:

f ' = gf '0 +g'f0
f " = g f "0 + 2g ' f '0 + g " f0

f est solution ssi :
(je te laisse écrire l équation différentielle vérifiée par g; le terme en g est nul car f0 est sol)

on a donc en posant z = g ' une équation du premier ordre en z et ça tu sais la résoudre

je t 'ai donné de longues explications sans réaction de ta part...


Posted by: kazeriahm

toi tu cherches les solutions réelles de l'équation, alors que tu as vu qu'il en existait des complexes non réelles.

quand tu obtiens les solutions
y=Acos(wx)+Bsin(wx) comme tu l'as fait, il est équivalent de dire que
(A et B sont réels) et de dire que y est une fonction à valeur réelle.

et imposer à A et B d'etre réel c'est imposer des conditions sur C1 et C2, en l'occurence que C1=conjugué(C2)


Posted by: theluckyluke

Citation:
Posté par fahr451

3$f' = gf_0' +g'f-0
3$ f " = g f_0" + 2g' f_0' + g" f_0

f est solution ssi :
(je te laisse écrire l'équation différentielle vérifiée par g ; le terme en g est nul car 3$ f_0 est sol)

on a donc en posant z = g ' une équation du premier ordre en z et ça tu sais la résoudre


bon alors pour l'équation différentielle vérifiée par g, je trouve :
3$ g"(x) = \frac{f"(x) \times f_0(x) - f(x) \times f_0"(x)}{[f_0(x)]^4}

en revanche je ne comprend pas bien pourquoi tu écris, le terme en g est nul car 3$ f_0 est solution...

je dirai : puisque 3$ f_0 est solution, alors f_0"(x)+ \omega^2 f_0 = 0 ???

est-ce que tu peux m'expliquer? merci beaucoup!


Posted by: fahr451

ok je continue la résolution

f est solution ssi

f " +w^2 f = 0 ssi

g"f 0 +2 g' f ' 0 +g f "0 + w^2 g f0 = 0

ssi g " f0 + 2 g' f ' 0 + g ( f " 0 +w^2 f0) = 0 et puisque f0 est sol
ssi ( en posant z = g ' )

z ' f0 +2 z f ' 0 = 0 et une équation du premier ordre en z que tu sais résoudre


Posted by: theluckyluke

ok je comprend mieux
je poste demain ce que je trouve










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