Mathématiques - Equations différentielles en physiques

Equations différentielles en physiques
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Posted by: MacErmite

Bonjour,

Il y a très longtemps, peut être trop, j'ai appris à résoudre les équations différentielles. Malheureusement cette formation consistait uniquement à apprendre la technique pour les résoudre, mais pas à les poser

Aujourd'hui, j'aimerais apprendre à poser ces équations devant des phénomènes physiques que l'on rencontre, pour mieux assimiler ce concept. Auriez-vous des exemples (faciles à comprendre

) où intervient le besoin de poser des équations différentielles ?

Ce qui m'intéresse est de comprendre le raisonnement que vous avez développer pour avoir l'expression de ces équations.

Merci

Posted by: Benjamin631

Bonjour,
Un exemple simple est la définition du courant. En fait, en physique, les équations différentielles viennent de l'étude des phénomènes à l'échelle infinitésimale (d'un point de vue temporel). La définition du courant, c'est un flux de particules chargées. La valeur de l'intensité du courant, c'est la quantité de charges qui passe à travers une surface sur un temps donné. Or, le courant est une grandeur instantanée. On ne peut pas écrire I=Q/T, avec Q l'ensemble des charges qui traverse pendant la durée T et T un temps long. Ce serait un courant moyen, mais qui ne reflète pas les changements rapides qui peuvent survenir de manière ponctuelle sur le débit de ces charges. Il faut résonner de manière infinitésimale, en considérant que sur l'unité de temps (minuscule), on peut faire l'approximation que le débit est constant, et donc représentatif du courant à ce moment t précis.

Ainsi, tu prends un fil électrique, et tu définis un plan S qui est une section de ce fil. Pendant $\delta_t$ , il y a $\delta_q$ charge qui traverse S. Plus précisément, entre l'instant $t$ et l'instant $t+\delta_t$ , $\delta_q$ charge ont traversé S. Et donc, $i(t)=\frac{\delta_q}{\delta_t}$ .
On peut ainsi étudier la décharge d'un condensateur au cours du temps. Plus le condensateur se vide, moins il y a de charge disponible, et donc le débit de charge va diminuer au cours du temps, ce qui fait que plus le temps augmente, plus $\delta_q$ est petit pour le même $\delta_t$ , ce qui entraine une diminution de l'intensité au cours du temps.

Résolvons cet exemple simple donc : tu as un condensateur chargé, avec à ses bornes une tension $V_0$ . On le branche aux bornes d'une résistance de valeur R. Comment varie la tension aux bornes du condensateur, ainsi que le courant qui le traverse ?
La tension $v$ aux bornes d'un condensateur est donnée par $q=C.v$ , où q est la charge sur l'une des armatures et C la valeur de la capacitance du condensateur. Le circuit étant fermé, les charges présentes sur cette armature vont la quitter pour rejoindre l'autre armature, sous l'effet de l'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur. Il y a donc un mouvement de charge et l'apparition d'un courant. Pendant $\delta_t$ , $\delta_q$ charge quitte cette armature, ce qui engendre un courant $i=\frac{\delta_q}{\delta_t}$ . De plus, si q, la charge sur l'armature, varie de $\delta_q$ , alors la tension aux bornes de la condensateur varie de $\delta_v$ (puisque $q=C.v$ ). Ainsi, tu as $i=\frac{\delta_q}{\delta_t}=C \times {\frac{\delta_v}{\delta_t}}$ .
De plus, la tension au borne de la résistance est, d'après la loi d'ohm, ${-v}=R.i$ . En remplaçant i, puis en transformant les variations infinitésimales par des différentielles mathématique (le passage est transparent), tu arrives à l'équation différentielle vérifiée par v : $\frac{-v}{R}=C.\frac{dv}{dt}$ , soit encore : $\frac{dv}{dt}+\frac{v}{RC}=0$ . La solution d'une telle équation est la suivante : $v(t)=Cte.e^{\frac{-t}{RC}}$ . Le calcul de la constante se fait grâce à la condition initiale. A t=0, $v=V_0=Cte$ .
Finalement, $v(t)=V_0.e^{\frac{-t}{RC}}$ et $i(t)=-\frac{V_0}{R}.e^{\frac{-t}{RC}}$ . A noter que ces expressions ne sont vraies que pour t>0, après avoir mis la résistance. Pour t<0, on a : $v(t)=V_0$ et $i(t)=0$ . On remarque ainsi que la tension est continue et l'intensité discontinue.

J'espère avoir répondu à ta demande, si tu as des questions, n'hésite pas.
A plus,

Posted by: _-Gaara-_

J'avoue que tu as fait du beau boulot benjamin, ce fut un plaisir de lire tout cela !!

Posted by: Dr Neurone

Je confirme la remarque de Gaara , c'est excellent comme explication.J'avais envie de faire ce genre de topo en mécanique , mais je n'aurais jamais été aussi clair et agréable à lire.

Posted by: Benjamin631

Merci à vous deux, ça fait plaisir de lire de tels commentaires :).
A plus,

Posted by: MacErmite

Bonjour,

Tout d'abord merci pour cette explication détaillée.

Citation:

Posté par Benjamin631

(...) En remplaçant i, puis en transformant les variations infinitésimales par des différentielles mathématique (le passage est transparent), tu arrives à l'équation différentielle vérifiée par v : $\frac{-v}{R}=C.\frac{dv}{dt}$ , soit encore : $\frac{dv}{dt}+\frac{v}{RC}=0$ .(...)

Peux-tu m'expliquer la différences physiques qu'il y a entre la notation infinitésimale : $\frac{\delta v}{\delta t}$ et celle-ci : $\frac{dv}{dt}$ ?

Posted by: Benjamin631

L'écriture de droite dispose d'un cadre mathématique, c'est tout. L'écriture de droite, c'est la dérivée de v. Tu n'as pas $\frac{\delta_v}{\delta_t}=v'(t)$ alors que tu as bien $\frac{dv}{dt}=v'(t)$ . Par définition de la dérivée, tu peux égaliser. C'est juste que les mathématiciens ont créé un cadre théorique nécessaire pour faire les choses bien. Et pour résoudre une équation différentielle, il faut une fonction dérivable. L'écriture de gauche est physique, celle de droite mathématique. Mais encore une fois, le passage est transparent. C'est juste qu'il faut un minimum de rigueur sur la fin. Les maths trouvent un de leurs aboutissements dans la physique. Il faut utiliser le cadre qu'il donne.
Je ne sais pas trop quoi te dire de plus là-dessus, désolé si ça ne répond pas très bien à ta question. Je vais y réfléchir.