Equations Différentielles

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guigui51250
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Equations Différentielles

par guigui51250 » 07 Aoû 2008, 10:10

Salut tout le monde,
Dans le livre que j'ai, je ne comprend pas l'explication des équations différentielles, il n'y a que 3 lignes de cours sur les équatinos différentielles alors je n'y comprend rien... Voilà mon cours :

Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions définies sur R par où k un réel quelconque.

Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions définies sur R par où k un réel quelconque.


Je trouve ça un peu léger alors est-ce que quelqu'un pourrai m'expliquer un peu mieux svp (à moi qu'il n'y ai rien d'autre à dire sur les équations différentielles :marteau: )

EDIT : c'est en 4 lignes qu'il tient mon cours ^^ parce que comme j'ai dis 3 lignes avant je vois déjà des gens me dire que c'est 4 lignes :ptdr:



Shaolan
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par Shaolan » 07 Aoû 2008, 10:57

Salut


Voici une explication un peu plus détaillée :

Pour commencer, une équation différentielle est une équation qui fait intervenir une fonction et ses dérivées. A ton niveau, les équations différentielles sont des cas particuliers "d'équations linéaires scalaires d'ordre 1".

Il faut bien comprendre que y est en fait une fonction de x.
J'ai un peu de mal avec cette notation, je préfère remplacer y par f(x) et on obtient donc des équations de la forme :

f '(x) = af(x)
f '(x) = af(x) + b

f est donc la fonction à trouver pour résoudre cette équation, c'est le même principe que les équations que tu résous depuis le collège, sauf qu'au lieu de chercher x, on cherche f(x).
Les méthodes de résolutions sont différentes, évidemment. Trouver la fonction f n'est pas aussi simple que de passer les éléments d'un membre à l'autre, de factoriser...

a et b sont des constantes.


On met plutôt les équations sous cette forme :

f '(x) - af(x) = 0 (H)
f '(x) - af(x) = b (L)

La première équation a un second membre nul, on l'appelle équation homogène.
La deuxième est une équation linéaire.
Et enfin, on dit que (H) est l'équation homogène associée à l'équation linéaire (L)
Mais laissons de côté ce jargon, je ne pense pas qu'il soit utilisé au lycée...


Il faut savoir que les solutions de (H) sont de la forme :



Tu dois l'apprendre, et pour t'en convaincre, dérive cette solution :





Tu dois également apprendre la forme des solutions de (L) :



Et tu peux le vérifier :

D'une part



D'autre part





Voilà, pour terminer, il faudrait démontrer que les solutions de ce genre d'équations sont bien de la forme indiquée d'une part et que se sont les seules d'autre part. Mais je laisse ce soin à des gens qui s'y connaissent mieux que moi ; )

En espérant t'avoir un peu aidé =D

guigui51250
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par guigui51250 » 07 Aoû 2008, 13:26

ah merci je comprend mieux :we: si j'ai un autre problème avec les équatinos différentielles je t'appelle :happy2:

Shaolan
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par Shaolan » 07 Aoû 2008, 20:50

De rien, je suis ravi d'avoir pu t'éclairer un peu =D

Dans quel livre as-tu vu parler d'équation différentielle ?
Je suppose que tu passes en terminale S ?

guigui51250
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par guigui51250 » 07 Aoû 2008, 21:37

Shaolan a écrit:De rien, je suis ravi d'avoir pu t'éclairer un peu =D

Dans quel livre as-tu vu parler d'équation différentielle ?
Je suppose que tu passes en terminale S ?


Ouè je passe en TS alors je me prépare ^^ et ma mère m'a acheté un livre avec le programme de TS de maths et de physique (obligatoire et spé) et j'ai aussi un autre livre de cours de Terminale D lol oui je sais c'est vieux (il date de 1983) mais je le trouve bien car il est plus rigoureux que celui que ma mère a acheté. Mais point de vue équations différentielles j'ai rien trouvé dans les 2 livres sauf ce que j'ai écrit dans mon 1er post

Shaolan
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par Shaolan » 07 Aoû 2008, 21:43

Ok

Faut savoir que les anciens terminals, bien que leur niveau soit bien plus élevé que celui que nous avons à l'heure actuelle, n'avaient pas d'équations différentielles... ils étaient bien embêtés en physique, crois moi ^^

Eh oui, car tu l'apprendras bien assez vite, les équations différentielles sont primordiales en physique...

Moi aussi je m'étais préparé avant la terminale spé maths...

Quelle spé veux tu faire ? envisages-tu de faire une prépa ? parce que si tel est le cas, je vais devoir t'expliquer un peu plus de trucs sur les équa diff...

guigui51250
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par guigui51250 » 07 Aoû 2008, 21:47

Shaolan a écrit:Ok

Faut savoir que les anciens terminals, bien que leur niveau soit bien plus élevé que celui que nous avons à l'heure actuelle, n'avaient pas d'équations différentielles... ils étaient bien embêtés en physique, crois moi ^^

Eh oui, car tu l'apprendras bien assez vite, les équations différentielles sont primordiales en physique...

Moi aussi je m'étais préparé avant la terminale spé maths...

Quelle spé veux tu faire ? envisages-tu de faire une prépa ? parce que si tel est le cas, je vais devoir t'expliquer un peu plus de trucs sur les équa diff...


Ouè j'ai rien trouvé pour les équations différentielles dans mon vieux livre.

Je vais faire spé maths et j'aimerais bien faire une prépa MPSI-PSI

Shaolan
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par Shaolan » 07 Aoû 2008, 21:54

Un autre fou furieux \o/

Bon alors déjà, il faut savoir que les équa diff que tu vas avoir en terminale S sont très très simple comparées à celles qui t'attendent en SUP et en SPE ^^

Je posterai d'autres infos demain, si j'en trouve à droite, à gauche ^^

Si tu veux éclaircir un point je t'en prie, demande moi !

Veux tu que je fasse du hors programme de terminale, ou simplement du programme de terminale ? sachant qu'il faut bien comprendre celles de TS avant d'aborder celles de prépa...

guigui51250
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par guigui51250 » 07 Aoû 2008, 22:00

Shaolan a écrit:Un autre fou furieux \o/

Bon alors déjà, il faut savoir que les équa diff que tu vas avoir en terminale S sont très très simple comparées à celles qui t'attendent en SUP et en SPE ^^

Je posterai d'autres infos demain, si j'en trouve à droite, à gauche ^^

Si tu veux éclaircir un point je t'en prie, demande moi !

Veux tu que je fasse du hors programme de terminale, ou simplement du programme de terminale ? sachant qu'il faut bien comprendre celles de TS avant d'aborder celles de prépa...


Bah si tu pouvais être mon prof d'équations différentielles de TS je voudrias bien ^^ après peut-être faire de l'hors programme mais seulement si je comprend bien le niveau TS

L.A.
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par L.A. » 09 Aoû 2008, 21:41

Hello, je ne veut pas m'incruster dans la discussion, mais je voudrais apporter ma pierre à l'edifice en "montrant" que les seules solutions de y' = ay sont les x -> kexp(ax) avec k dans R.

Il faut passer je pense par les espaces vectoriels (ev) et les applications linéaires, des noms barbares mais finalement " " "assez" " " simples.

ev quesseucé ? Pour être bref R² (ensemble des vecteurs du plan) est un R-ev par exemple, parceque si on prend x et y dans R² et k dans R, on peut envisager les vecteurs x + y et kx : en gros R² est muni d'une loi interne (l'addition) et d'une loi externe sur le corps R (la multiplication par un scalaire) opérations qui à partir de deux éléments de R², ou de R² et R forment un élément de R².

le cas est identique pour E = D(R -> R) (ens. des fonction de R dans R dérivables) parceque on définit des opérations semblables sur fonctions :
la ft° (f+g) est définie par (f+g)(x) = f(x) + g(x)
la ft° (kf) est définie par (kf)(x) = k(f(x))
pour tout x dans R avec f,g dans E et k dans R. à partir de 2 fonctions dérivables, ou d'une ft dérivable et d'un scalaire, on forme une nouvelle fonction qui est aussi dérivable par ailleurs. bref E est un R-ev.

posons F = R^R, ensemble des fonctions de R dans R : avec les mêmes opérations, c'est encore un R-ev.
si on dérive une fonction f dérivable (cad dans E) on obtient une fonction f' qui n'a à prioiri aucune régularité particulière (donc dans F); si on note donc D l'opérateur (ou la fonction) qui à une fonction de E associe sa dérivée, on forme une fonction D de E dans F :
D : E -> F, f |-> f' ou encore D(f) = f'

revenons à l'équadiff initiale : avec nos notation, le problème initial y' = ay se formule :
trouver les solutions dans E de l'équation D(y) = ay d'iconnue y.

cette équation lie deux fonctions de l'ev F, on peut ainsi les soustraire :
(1) D(y) - ay = 0, ou le 0 représente la fonction nulle (de F).

parlons maintenant des applications linéaires (al) :
si E et F sont deux R-ev, et T est une application de E dans F, on dit qu'elle est linéaire lorque pour tout x,y dans E et k dans R, on a
T(x+y) = T(x)+T(y) et T(kx) = kT(x)

(on peut montrer que les applications linéaires de R dans R ne sont autres que les fonctions linéaires bien connues.)

Ce qui fait tout fonctionner dans cette belle mécanique, c'est que l'opérateur de dérivation D tel que D(f) = f', est une al de E dans F tq définis plus haut. en effet :
D(f+g) = (f+g)' = f'+g' = D(f) + D(g)
D(kf) = (kf)' = kf' = kD(f)

introduisons désormais l'injection canonique I de E dans F. cest un nom abominable, certes, mais il n'y a quasiment rien derrière :
I : E ->F f |-> f ; ou encore I(f) = f.
appliquer cet opérateur à la fonction f de E ne change pas cette fonction, il sert juste à "adapter" f au départ dans E au format de l'ev F contenant E et les autres fonctions de R dans R moins régulières. pas tout compris ? mais pas grave, notons juste que I(f) = f

Magie ! I est évidemment une al :
I(f+g) = f+g = I(f) + I(g)
I(kf) = kf = kI(f)

Notons L(E->F) l'ens. des applications linéaires de E dans F (aie!)
Devinez quoi : L(E,F) est encore un Rev !
en bref, on peut sommer deux al, ou multiplier une al par un scalaire (un réel), on garde une al :
(T+S)(x+y) = T(x+y)+S(x+y) = T(x)+T(y)+S(x)+S(y) = T(x)+S(x)+T(y)+S(y)
=(T+S)(x) + (T+S)(y)
(kT)(x+y) = kT(x+y) = k(T(x)+T(y)) = kT(x)+kT(y)=(kT)(x)+(kT)(y)
deux égalités sumpélementaires sont à vérifier portant sur lx au lieu de x+y...

revenons au problème (1)
D(y)-ay = 0 D(y)-aI(y) = 0 (I est utile ici, d'ailleurs il manque dans la première équation.) (D-aI)(y) = 0 T(y) = 0
où T = D-aI est comme nous l'avons dit, un al de E dans F.

les solutions de lequadiff sont donc les fonction annulant l'al T, qu'on appelle le noyau de T.

debut de la deuxième partie : résolution de T(y) = 0, où T est une al.

pour comprendre, plaçons nous dans le plan R² ; on définit l'application T (linéaire), qui au vecteur v de coordonnées (x,y) associe le vecteur v' de coordonnées (x+y,2x+2y)
ainsi par exemple T(2,3) = (2+3,2*2+2*3) = (5,10) ...
on cheche les vecteurs (x,y) du noyau de T, cad dont l'image par T est 0 = (0,0)
on résoud T(x,y) = (0,0) (x+y,2x+2y)=(0,0) x+y=0 et 2x+2y=0 x+y = 0
le noyau de T est donc la droite d d'équation y=-x : les points de cette droite sont les points dont l'image par T est (0,0) ; notons que c'est la droite passant par (0,0) de vecteur directeur v(1,-1). on dit donc que le noyau est de dimension 1, car il sufit d'un seul vecteur v pour déterminer le noyau de T :
noyau de T = {kv, k dans R}

dans le cas notre éqadiff, le noyau de T que l'on cherche est aussi de dimension 1, et là il faut me croire, ou bosser sur le lemme de Gronwall et le Théorème de Cauchy-Lipschitz.

en bref, il suffit de trouver une seule fonction f dans E vérifiant T(f) = 0, qui constituera le vecteur directeur de la droite-noyau (f est donc non nulle) : toutes les autres solutions seront de la forme kf avec k dans R.
la fonction f(t) = exp(at) étant solution particulière non nulle, cqfd

(pfoui...)

guigui51250
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par guigui51250 » 09 Aoû 2008, 21:48

èhèh c'est bien long tout ça ^^ je lirais ça demain matin à la fraiche car là j'en ai plein la tête lol j'espère que c'est interessant :happy2:

Joker62
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par Joker62 » 09 Aoû 2008, 22:44

C'est bien joli comme exposé mais un peu cappilo-tracté non ?
On est en section lycée pardis...

guigui51250
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par guigui51250 » 10 Aoû 2008, 14:05

euh oèu j'ai pas très bien compris l'explication de L.A. je ne passe qu'en Ternimale c'est peut-être pour ça ^^

L.A.
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désolé

par L.A. » 10 Aoû 2008, 18:47

bonjour,

je sais que j'ai plutôt tendance à m'emballer qqfois, et en me relisant je me rends compte que ce n'est ni assez complet ni vraiment clair. au moins ça a le mérite de donner qqs idées de ce qu'on peut trouver en 1e année de prépa à qqun qui veut s'engager là dedans ; il y a plus de trous que d'explications, c'est sûr, d'où le capillotractage, mais j'ai peur de ne pouvoir faire beaucoup mieux.
pour guigui, je vais chercher à clarifier l'idée importante de ce que j'ai dit :

la forme particulière de l'ensemble-solution de l'équadiff (E) : y' = ay
cad S = {y / il existe k dans R tq pour tout t y(t) = k*exp(at)}
est celle d'une "droite", mais non une droite constituée de points dans un plan ou un espace de géométrie euclidienne comme on les connait bien, c'est une "droite" dans un espace de fonctions. c'est ici toute la difficulté des equadiff pour qqun qui débute : on raisonne exclusivement sur des fonctions, des objets bien plus complexes, et pas sur des points ou des nombres ; mais il y a beaucoup de similitudes, et on traite equadiffs et fonctions comme equations classiques et nombres.

dans l'espace euclidien à 3 dimension classique, une droite peut être définie par exemple par une direction, cad un vecteur v directeur non nul, et un point particulier A par lequel la droite passe. Si O est un point origine quelconque, la droite D passant par A et de direction v est l'ensemble des points M tels que il existe k dans R tel que :
vecteur OM = vecteur OA + k*v

dans un espace de fonctions, les "droites" ont une forme semblable :
¤ une direction qui est une fonction v
¤ un point particulier qui est aussi une fonction a
la "droite" passant par a de direction v est l'ensemble des fonctions f tels que il existe k dans R tel que
f = a + k*v
par exemple, la "droite" D passant par la fonction a : t |-> 0 constante égale à 0 et de direction la fonction v : t |-> t est l'ensemble des fonctions linéaires :
D = {f / il existe k dans R tq pour tout t f(t) = k*t}
(si tu as compris ça, tu as tout compris.)

ce que j'ai essayé de montrer dans mon premier message, c'est en fait que les solutions forment bien une certaine "droite" dans l'espace des fonctions. sachant cela, on peut ensuite trouver cette "droite" particulière : c'est la "droite" passant par la fonction nulle 0 (constante = 0) de direction la fonction v : t |-> exp(at).

en espérant avoir été moins obscur...

 

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