equation type x²+ay²=z² [arithmétique]

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Posted by: ~oa~

SALUT
résoudre dans Z^3 l'équation suivante :
x²+5y²=z²


Posted by: lapras

Bonjour,
répndez en blanc svp car je n'ai pas le temps de le faire et jaimerais chercher :=)

Merci


Posted by: fati

non! on te laisse le soin de répondre Lapras!!!


Posted by: ThSQ

Mmm, z²-5y²=x² est une équation de Pell (généralisée). On peut montrer (difficilement) qu'il y a une solution (y0,z0) pour tout x² (développement en fractions continues ...) et que toutes les autres s'obtiennent (facilement) à partir de (y0,z0) et qu'il y en a une infinité.

Je serais surpris (mais super heureux de me tromper !) qu'il y ait une forme explicite de toutes les solutions.

A noter qu'il n'y a pas d'espoir du côté de \mathbb{Z}[\sqrt{5}] qui n'est pas un anneau fréquentable ....


Posted by: aviateurpilot

Citation:
Posté par ThSQ
Je serais surpris (mais super heureux de me tromper !) qu'il y ait une forme explicite de toutes les solutions.

essayons de resoudre l'equation dans \mathbb{N}.
x^2+ay^2=z^2\ <=>\ ay^2=(z-x)(z+x)
soit pour y>0 S_y=\{(x,z)\in\mathbb{N}^2|\ (z-x)(z+x)=ay^2\}
il donc evident que 4$ S_y=\{(\frac{|ay^2-d^2|}{2d}\ \ ;\frac{ay^2+d^2}{2d})|\ d|ay^2,d\equiv \frac{ay^2}{d}[2] \}
et donc
4$ S=\{(\pm x,\pm y,\pm z)|\ (x,y,z)\in\cup_{n\in\mathbb{N}^*}S_n\}\cup \{(\pm x,0,\pm x)|x\in\mathbb{N}\}

verification:
alors par exemple pour construire une solution a=5,y=10
on prend par exemple d=10|ay^2=500
et donc (x,y)=\frac{1}{2}(50-10;50+10)=(20,30)
20^2+500=30^2


Posted by: ThSQ

J'appelle pas ça une forme explicite mais tout est question de convention.


Posted by: aviateurpilot

Citation:
Posté par ThSQ
J'appelle pas ça une forme explicite mais tout est question de convention.

on peux appeler ca une maniere qui peux mener a construire tous les solution possible.
si on te demande par exemple de resoudre dans \mathbb{N}^3 l'equation x=yz
y a t'il une autre solution autre que S=\{(0,y,0),(0,0,z),(x,d,\frac{x}{d})\mathbb{N}|\ d|x,x\in\mathbb{N}^*,(y,z)\in\mathbb{N}^2\}?


Posted by: Imod

~OA~ très absent depuis le début du fil , sème des graines sur d'autres forums même sujet , il pourrait aussi apporter son soutien à ceux qui cherchent à l'aider ici

Imod










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