Equation d'onde scalaire en 3D

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: kkneo

Bonjour,

ma question est lié à la résolution d'une équa-diff d'une onde scalaire se propageant dans un milieu en 3D.

je vous refais la démo rapidement pour que vous ayez le contexte.

au départ on a l'équadiff :
\Delta^{2} \Psi(r,t) = \frac{\part^{2} \Psi}{\part x^{2}}+\frac{\part^{2} \Psi}{\part y^{2}}+\frac{\part^{2} \Psi}{\part z^{2}}=\frac{1}{c^{2}}\frac{\part^{2} \Psi}{\part t^{2}}

avec c la célérité dans le milieu et r=(x,y,z)

Pour résoudre cela, on utilise la méthode de la séparation des variables.
\Psi(r,t)=F(r)T(t)=X(x)Y(y)Z(z)T(t)

avec cette méthode on trouve quelque chose comme
\frac{T"}{T}=\lambda
et
c^{2}\frac{\Delta^{2} F(r)}{F(r)}=\lambda
avec \lambda une cste
en développant un peu :
c^{2}\frac{X"}{X}+c^{2}\frac{Y"}{Y}+c^{2}\frac{Z"}{Z}=\lambda
et comme chaque terme est indépendant :
X"=\frac{\lambda_{x}}{c^{2}}X
Y"=\frac{\lambda_{y}}{c^{2}}Y
Z"=\frac{\lambda_{z}}{c^{2}}Z
avec \lambda_{x}+\lambda_{y}+\lambda_{z}=\lambda
les solutions sont de la forme
X=exp{\pm\sqrt{\lambda_{x}}x/c}
Y=exp{\pm\sqrt{\lambda_{y}}y/c}
Z=exp{\pm\sqrt{\lambda_{z}}z/c}

comme la solution est donnée par \Psi(r,t)=X(x)Y(y)Z(z)T(t)
on a une solution qui est une combinaison linéaire donné par
\Psi=A\exp{\pm\sqrt{\lambda}[t-(lx+my+nz)/c]}+B\exp{\pm\sqrt{\lambda}[t+(lx+my+nz)/c]}

avec
l=\pm\sqrt{\frac{\lambda_{x}}{\lambda};
m=\pm\sqrt{\frac{\lambda_{y}}{\lambda};
n=\pm\sqrt{\frac{\lambda_{z}}{\lambda};

et on prendra la solution plus générale :
\Psi=h(t-(lx+my+nz)/c)+g(t+(lx+my+nz)/c)
qui est la solution de d'Alembert

pour vérifier que cette solution générale satisfait l'equadiff du début on pose
u=(t-\frac{1}{c}(lx+my+nz))
v=(t+\frac{1}{c}(lx+my+nz))

et on utilise les chaines de dérivations par x y z et t.

pour qu'elle soit valable, on se rend compte qu'il faut nécessairement que :

\frac{\part\Psi}{\part u \part v)=0

et dans un bouquin, on dit que cela est valable pour
\Psi=h(u)+g(v)
(h et g sont derrivables 2 fois)

c'est cette dernière affirmation qui me gène... je ne vois pas vraiment pourquoi la dérivée par v d'une fonction dépendant de u soit nulle...
Si je me rappelle de souvenirs lointains, il faudrait que u et v soit orthogonaux non?.. Enfin vous l'aurez compris ça me trouble pas mal et si quelqu'un pouvais m'aider cela serait d'un grand secours


Posted by: Alpha

Euh... je comprends pas ce que tu comprends pas.

Si ta fonction ne dépend pas de u, sa dérivée par rapport à u est nulle, tu ne trouves pas ça évident? Bon, j'ai lu juste la fin de ton post, donc peut-être que tu parlais d'autre chose...
Mais bon, c'est ça que tu ne comprends pas, dis-le, et je détaillerai.


Posted by: kkneo

mhm, ce qui me troublais c'est que u dépend en quelque sorte de v :

dans un truc comme :
v=u+\frac{2}{c}(lx+my+nz) ...

alors en quelque sorte u et v n'étant pas réellement indépendant est ce que si h dépend de u, il dépende en quelque sorte de v...

je sais pas ce qui m'a pris, une question débile comme ça...


Posted by: Alpha

C'est pas débile

En principe, si tu peux exprimer ta fonction comme une fonction des variables u et v, voire même d'autres variables, il n'y a pas de problème : l'indépendance par rapport à u se traduit par une dérivée nulle par rapport à u.


Posted by: kkneo

ouais ...
on m'a dit que comme v ne pouvais pas être exprimé en fonction de u seulement, u et v étaient indépendantes...










-