Mathématiques - Equation a 4 inconnues

Equation a 4 inconnues
(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)

Posted by: louloup1er

Salut a tous, j'aimerais savoir comment résoudre une équation a 4 inconnues :
La voici :
7x + 4y + 1z + 3t = 157
3x + 2y + 4z + 8t = 145
9x + 5y + 1z + 2t = 184
4x + 6y + 4z + 7t = 186

Posted by: Mohamed

salut;
tu peux écrire le système sous sa forme matricielle et chercher l'inverse de la matrice si elle est inversible...

Posted by: fatal_error

Salut,

tu peux poser l'equation matricielle AX=B
avec :
$A=\begin{pmatrix}7&&4&&1&&3\\<br /> 3&&2&&4&&8\\<br /> 9&&5&&1&&2\\<br /> 4&&6&&4&&7<br /> \end{pmatrix}$
$X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\end{pmatrix}$
et $B=\begin{pmatrix}157\\145\\184\\186\end{pmatrix}$

Apres faut discuter sur le déterminant de A (une, infinité ou aucune solution) pis si detA!=0, tu as l'inversion qui est possible. cad $X=A^{-1}B$
Tu peux aussi regarder du coté des méthodes de Cramer pour résoudre ton eq matricielle.

Posted by: leon1789

Pour résoudre un système linéaire, il y a aussi la méthode du pivot (dite aussi méthode par substitution) : je crois que c'est plus élémentaire et économique que de calculer l'inverse d'une matrice ou des déterminants (la matrice n'est pas creuse ici). De préférence, prendre des pivots valant $\pm 1$ bien sûr.

Quand on ne veut calculer la valeur de qu'une seule inconnue ou quand on fait du calcul en parallèle --> formules de Cramer.

Lorsque qu'il y a plusieurs systèmes du même type (AX=B, AX=C, etc) à résoudre --> calcul de l'inverse de A

Posted by: Clembou

Citation:

Posté par leon1789

Pour résoudre un système linéaire, il y a aussi la méthode du pivot (dite aussi méthode par substitution) : je crois que c'est plus élémentaire et économique que de calculer l'inverse d'une matrice ou des déterminants (la matrice n'est pas creuse ici). De préférence, prendre des pivots valant $\pm 1$ bien sûr.

Quand on ne veut calculer la valeur de qu'une seule inconnue ou quand on fait du calcul en parallèle --> formules de Cramer.

Lorsque qu'il y a plusieurs systèmes du même type (AX=B, AX=C, etc) à résoudre --> calcul de l'inverse de A

Il y aura beaucoup de calcul pour le pivot de Gauss parce que la matrice n'a pas une forme spéciale (je dirais qu'il y aura plus de 10 calculs) mais ça me semble plus économique que de calculer l'inverse ou le déterminant...

Posted by: Aspx

Comatrice et Sarrus, c'est bon pour le calcul mental

Posted by: leon1789

Citation:

Posté par Clembou

Pas moins de 10... hum, allez, je me lance...

(1) : 7x + 4y + 1z + 3t = 157
(2) : 3x + 2y + 4z + 8t = 145
(3) : 9x + 5y + 1z + 2t = 184
(4) : 4x + 6y + 4z + 7t = 186

<=>

(1)
(2)
(4)
(5) = (3)-(1) : 2x + y - t = 27

<=>

(1)
(2)
(5)
(6) = (4)-(2) : x + 4y - t = 41

<=>

(1)
(2)
(6)
(7) = (6)-(5) : -x + 3y = 14

<=>

(7) : x = 3y - 14
(6) : t = 7y - 55
(1) : z = 157 - 7x -4y -3t = ... en fonction de y
(2) : 3x + 2y + 4z + 8t = 145 ... equation en y

je craque....

Posted by: abcd22

Citation:

Posté par louloup1er

Salut a tous, j'aimerais savoir comment résoudre une équation a 4 inconnues :
La voici :
7x + 4y + 1z + 3t = 157
3x + 2y + 4z + 8t = 145
9x + 5y + 1z + 2t = 184
4x + 6y + 4z + 7t = 186

La solution classique est la méthode de Gauss, mais il faut réfléchir un peu avant de l'appliquer, sinon on peut vite avoir des coefficients pas pratiques :
1) réordonner les équations et l'ordre des inconnues pour simplifier les calculs :
z + 4y + 7x + 3t = 157
z + 5y + 9x + 2t = 184
4z + 2y + 3x + 8t = 145
4z + 6y + 4x + 7t = 186
2) Éliminer les z des 3 dernières équations en leur soustrayant respectivement une, 4 et 4 fois la première ligne :
z + 4y + 7x + 3t = 157_
y + 2x - t = 27
-14y - 25x - 4t = -483
-10y - 24x - 5t = -442
3) Éliminer les y des 2 dernières équations en leur ajoutant respectivement 14 et 10 fois la 2e :
z + 4y + 7x + 3t = 157
y + 2x - t = 27
3x - 18t = -105
-4x - 15t = -213
4) Diviser la 3e ligne par 3 pour simplifier, puis ajouter 4 fois la 3e ligne à la 4e ligne pour éliminer x et trouver t, remonter les équations pour en déduire x, puis y, puis z.
5) Vérifier les résultats.