Equation Fonctionnelle (bis)

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Posted by: _-Gaara-_

Saluuuuut ^^


voilà donc à mon tour d'en poster une marrante :D

Trouvez toutes les fonction injectives f : N → R satisfaisant :

(a) f ( f (m)+ f (n)) = f ( f (m))+ f (n)

(b) f (1) = 2, f (2) = 4.


voilà j'espère que çà ne posera pas de difficultés. Bon courage


Posted by: ffpower

ca a pas l air dur,je vais essayer de la faire en direct^^
ta condition (a) implique fof(m)+f(n)=f(m)+fof(n),autrement dit,fof-f est constante,on donc fof=f+c pour un certain c,et c=2 par (b).(a) devient donc:

f(f(m)+f(n))=f(m)+f(n)+2

bon la je bloque un peu,je v refléchir 2 minutes^^
bon,ok,deja,puisque fof=f+2,grace a b,on obtient directement par reccurence que f(n)=n+2 pour tout n pair non nul

je reflechis encore un peu pour les impairs..
ben a priori,je dirai que f(3),ca peut etre n importe quoi,disons k,et qu on a alors
f(2n+3)=2n+k..che pas si c une condition suffisante,mais je pense que ouais


Posted by: lapras

salut
si on arrive a montrer que f(3) = 5, par récurrence f(2k+1) = 2k+3
C'est mon seul probleme : trouver une valeur impaire autre que 1, et j'ai fini


Posted by: aviateurpilot

1erement fo avoir f:N to N et non N to R
car deja f(f(n)+f(m)) signifie que f(n)+f(m) \in N ,\ \forall n,m\in N

solution:
on a f(f(n)+f(m))=f(n)+fof(m)=f(m)+fof(n)
donc fof(n)-f(n)=fof(m)-f(m) et m=1 donne fof(n)=f(n)+2
donc \forall x\in f(\mathbb{N});\ f(x)=x+2 et x+2\in f(\mathbb{N})
et donc 2=f(1)\in \mathbb{N} ==> \forall k\in\mathbb{N}^* \ 2k\in f(\mathbb{N})
d'ou \forall k\in\mathbb{N}^*\ 2k\in f(\mathbb{N})\ donc\ f(2k)=2k+2
soit 2a+1=min\{f(n):\ f(n)\ impair\}
on a alors \forall k\ge a:\ 2k+1=2a+1+2(k-a)\in f(N) et donc f(2k+1)=2k+3
si a\ge 2 alors f(3)\not\in \{2k:\ k>0\}\cup \{2k+3:\ k\ge a\} car f est injective
si f(3)=0 alors fof(3)=f(3)+2=2=f(1) ==> f(3)=1 absurde
si f(3)=2s+1<2a+3 alors f(3)=2a+1 car 2a+1=min\{f(n):\ f(n)\ impair\}
de meme on trouve f(0)=2a+1 absurde car f injective
et donc a=0 ou 1
a=0 ==> 1=(2a+1)\in f(N) ==> f(1)=1+2=3 absurde
a=1 ==> 3=2a+1 \in f(N) ==> f(3)=3+2=5 et f(0)=3 car 2a+1=3 l'image d'un element et 0 le seule condidact

donc la seule solution est
f(0)=3
f(1)=2
f(k)=k+2 pour k\ge 2


Posted by: _-Gaara-_

Huhuuuuuuu

C'est bien çà aviateurpilot












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