Equation fonctionnelle

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Posted by: lapras

Bonjour,

Citation:
Déterminer toutes les fonctions f:IR->IR telles que, pour tous réels x,y :
f(x - f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x) - 1


Bonne chance


Posted by: _-Gaara-_

Salut lapras!

J'en ai fait une identique il n'y a pas longtemps mais pas exactement, la mienne était f(x − f(y)) = 1 − x − y. xD

J'essaye de chercher pour la tienne =)


Posted by: raito123

Citation:
Posté par _-Gaara-_
Salut lapras!

J'en ai fait une identique il n'y a pas longtemps mais pas exactement, la mienne était f(x − f(y)) = 1 − x − y. xD


Olympiad Française de Mathématique :
Epreuve de séléction!



Posted by: raito123

Citation:
Déterminer toutes les fonctions f:IR->IR telles que, pour tous réels x,y :
f(x - f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x) - 1


Cette aprés-midi j'ai deux heure d'Svt!!! c'est claire je vais pas m'ennuyer !!


Posted by: _-Gaara-_

Bon,

f(x - f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x) - 1

pour x=0 et y = 0 on a

f(0 - f(0)) = f(f(0)) + 0+ f(0) - 1

ie f(- f(0)) = f(f(0)) + f(0) - 1

On pose a= f(0) donc f(-a)= f(a) + a - 1

et maintenant je ne sais pas si c'est bon mais en posant x=f(y) on trouve

f(0) = f(x) + x * x + f(x) -1 = 2f(x) + x^2 - 1

donc a = 2f(x) + x^2 - 1 donc f(x) = (a - x^2 + 1 )/2


et là je ne sais pas comment poursuivre... =( un indice ??


Merci à Raito qui m'a initié aux équations fonctionnelles


Posted by: lapras

salut,
tu as bien commencé !
Tu as posé x = f(y)
donc tu as pris uniquement les x appartenant à l'ensemble des images de f.
Donc f n'est pas déterminée sur l'ensemble IR.
Il faut que tu arrives à étendre ce que tu sais de f sur l'ensemble des réels.
Par exemple essaye de montrer que tous réel est la différence de deux éléments de l'ensemble des images de f.


Posted by: _-Gaara-_

f(-a)= f(a) + a - 1 On peut dire directement que a est non nul ?


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par _-Gaara-_
un indice ??


X = (x-f(f(0))+1)/f(0) (f(0) != 0)
x = f(X-f(0)) - f(X)



( 1 - x²/2 )


Posted by: _-Gaara-_

Citation:
Posté par ThSQ
X = (x-f(f(0))+1)/f(0) (f(0) != 0)
x = f(X-f(0)) - f(X)



( 1 - x²/2 )



Merci ThSQ. Donc pour simplifier on pose x = f(X-f(0)) - f(X) avec f(X-f(0))=k et f(X)=j (mes initiales ^^ ) on a donc x= k - j. Mais est-ce qu'on peut dire directement que x parcours tout IR comme l'a dit lapras ?


Posted by: _-Gaara-_

Bon, je suppose que c'est vrai alors vu que c'est ThSQ qui le dit :D ^^

f(x) = f(k - j)

et on a f(x - f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x) - 1

donc

f(k - j) = f(j) + kj + f(k) -1

et avec f(x) = (a - x^2 + 1 )/2 on a :

f( k - j) = (a - j^2 + 1 )/2 + kj + (a - k^2 + 1 )/2 - 1


________ = (((a - j^2 + 1 )+(a - k^2 + 1 )) +2kj - 2)/2


________ = (2a - j^2 - k^2 + 2 + 2kj + 2 )/2

________ = 2a/2 - (j^2 - 2kj + k^2)/2


________ = a - (1/2)*(j + k)^2


voilà arf >.<

ThSQ, comment prouver que a = 1 ? (oui j'ai vu ta solution hihi ^^)


Posted by: raito123

Bof je me suis concentrer à fond croyant que c'est difficile je l'ai résolu en 5 minute alors l'ennyui à mort durant 1h et demi

alala je deviens tout à coup fort mdrr mais non c'est un coup de chance:


J'ai commencer oar trouver f(0) et puis j'ai trouver f(x) =1- x²/2 et puis vérification alors ça suffit?


Posted by: lapras

salut aymane,
peux tu me proposer toute ta solution ? je pourrai ainsi vérifier


Posted by: raito123

Aha,

*On pose f(y)=0 :

f(x)=f(0)+f(x)-1 donc f(0)=1


**on pose f(y)=x alors f(0)=f(x)+x²+f(x)-1 qui donne f(x)=1-x²/2.


*** Puis vérification ....


Alors c'est juste (pasque je sais pas si c'est complet)??


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par raito123
Alors c'est juste (pasque je sais pas si c'est complet)??


Pour moi c'est incomplet. Tu as montré que si x=f(y) alors f(x) = 1 - x²/2 c'est le + facile.


Posted by: lapras

Oui raito, c'est ce que je craignais.
En fait tu as démontré une relation valable pour tout x dans l'ensemble des images.
Tu ne l'a pas étendu aux réels.


Posted by: raito123

Merci ,

Et mtn je dois faire comment pour l'etendre sur tout les réels ?

Comment terminer cette demo?










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