Equation fonctionnelle

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Posted by: Zweig

Trouver toutes les fonctions f R -> R telles que :

f(x^2 + f(y)) = y + f(x)^2



Posted by: XENSECP

En tout cas, f:x->x convient déjà... Je sais pas tu as essayé de dériver ? Essaye déjà les équations de type ax+b je sais pas ;)


Posted by: ThSQ

f(x) = x seule solution pour moi


a = f(0) : f(a)=a²

f(x²+a) = f(x)²
f(f(x))= x + a² : f est bijective


f(a²+f(x)²) = f(a²+f(x²+a)) = x²+a + a²
f(a²+f(x)²) = f(f(x)²+a²) = f(f(x)² + f(a)) = a + f(f(x))² = a + (x+a²)²

Cela pour tout x : a = f(0) = 0.

f(x²+y) = f(y) + f(x)²

f(x²) = f(x)²
f(x)² = - f(-x²) : f est impaire

On a donc f(x+y) = f(x)+f(y) et f(x-y) = f(x)-f(y)

f(x - f(x)) = f(x) - x.
Si f(x) < x alors f(truc > 0) = truc < 0 : impossible et pareil si f(x) > x.

Conclusion f(x) = x


Posted by: XENSECP

J'ai décroché à la moitié mais c'est beau ^^


Posted by: lapras

salut
apres quelques calculs
f(0)=0
f°f = Identité et f(x)² = f(x)²
f bijective
En fait j'arrive sur une équation de cauchy f(a+b) = f(a) + f(b)
c'est fini f(x) = x


Posted by: Zweig

Citation:
Posté par ThSQ
f(x) = x seule solution pour moi


a = f(0) : f(a)=a²

f(x²+a) = f(x)²
f(f(x))= x + a² : f est bijective


f(a²+f(x)²) = f(a²+f(x²+a)) = x²+a + a²
f(a²+f(x)²) = f(f(x)²+a²) = f(f(x)² + f(a)) = a + f(f(x))² = a + (x+a²)²

Cela pour tout x : a = f(0) = 0.

f(x²+y) = f(y) + f(x)²

f(x²) = f(x)²
f(x)² = - f(-x²) : f est impaire

On a donc f(x+y) = f(x)+f(y) et f(x-y) = f(x)-f(y)

f(x - f(x)) = f(x) - x.
Si f(x) < x alors f(truc > 0) = truc < 0 : impossible et pareil si f(x) > x.

Conclusion f(x) = x


A première vue, ta solution me semble correcte

Citation:
En tout cas, f:x->x convient déjà... Je sais pas tu as essayé de dériver ? Essaye déjà les équations de type ax+b je sais pas ;)


J'ai déjà résolu l'exercice, c'est pour vous que je le propose


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par lapras
équation de cauchy f(a+b) = f(a) + f(b)
c'est fini f(x) = x


Sans hypothèses supplémentaires sur f (continuité, ...) comment fais-tu ?


Posted by: lapras

Ah oui c'est vrai j'oubliais on n'a pas supposé f continue.
Bah f est bijective de IR dans IR, ca devrait suffire non ?


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par lapras
Ah oui c'est vrai j'oubliais on n'a pas supposé f continue.
Bah f est bijective de IR dans IR, ca devrait suffire non ?


Non, les solutions de Cauchy non continues mais bijectives ça existe !


Posted by: ffpower

en fait la solution de lapras marche,suffit juste de dire que comme f(x²)=f(x)²,f est positive sur R+,et f est donc croissante


Posted by: ThSQ

Citation:
Posté par ffpower
en fait la solution de lapras marche,suffit juste de dire que comme f(x²)=f(x)²,f est positive sur R+,et f est donc croissante


Je voulais juste attirer son attention sur la fait qu'il faut des hypothèses supplémentaires (croissante par ex., on l'a eu sur ce forum il y a peu) pour conclure.


Posted by: lapras

Ok
merci de me l'avoir rappelé j'avais oublié ces hypothèses.










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