dans un exercice de physique, j'ai été confronté au problème suivant :
etant donné r un réel positif, g et h deux fonctions indéfiniment dérivables,
on cherche une fonction f telle que (je le repete r est fixé donc h(r) aussi...).
Dans cet exercice h et g étaient des fonctions étaient du type produit de fraction rationnelles et d'exponentielles en x, et l'énoncé disait "vous vérifierez que la fonction x->.... est bien solution...".
Comment résoudre ce type d'"équation fonctionnelle (?)", y a t-il une méthode générale, ou y a t il des méthodes particulières selon la forme des fonction g et h?
Posted by: Sdec25
On peut peut-être utiliser le théorème de la moyenne si g est positive.
Posted by: kazeriahm
Je ne connaissais pas ce théorème mais tel qu'il est donné sur wikipedia je ne vois pas le rapport avec le fait que g soit positive ou non.
f*g étant continue sur [0,r] (on suppose f continue..), il existe k tel que
r*f(k)*g(k)=h(r), ainsi on connait f(k). Et après?
Posted by: Sdec25
Moi je l'ai sous cette forme (g doit être positive et intégrable) :
Posted by: kazeriahm
quand tu dis intégrable c'est que sa primitive est exprimable comme combinaisons de fonctions usuelles ?
g est continue donc intégrable (au sens de Riemann).
cependant on ne connait que la valeur de f en un point, dans un cas comme dans l'autre.
Si l'on connait la forme de g et de h on doit pouvoir présumer de la forme de f, mais c'est vague...
Posted by: Sdec25
Désolé mais je t'ai juste donné une piste, je n'ai jamais résolu d'équation de ce genre donc je ne connais pas la méthode (ni s'il en existe une générale).
Si tu avais un exemple ce serait bien.
Posted by: kazeriahm
en fait j'ai ete soumis a ce pb dans un exercie d'electromagnetisme, r est le rayon d'une sphere charge de distribution volumique g(d), d etant la distance au centre de la sphere, h est le potentiel, connu, et on cherche f tel que (a peu de choses pres). Enfin bref, ce probleme est insoluble suis je con!! cette equation n'est valable que pour r=le rayon de ma sphere, ie en un point, on peut au mieux connaitre f(r), ou f(r)-f(0), mais pas trouver f(t) pour tout t.
(je le repete r est fixé donc h(r) aussi...).![\Large \exists c \in [0, r] \; / \; \int_0^r f(x)g(x)dx = f(c) \int_ 0^r g(x)dx](http://www.maths-forum.com/images/latex/7155aac284124e2372f3b8b68350e485.gif "\Large \exists c \in [0, r] \; / \; \int_0^r f(x)g(x)dx = f(c) \int_ 0^r g(x)dx")