Equation fonctionnelle

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Posted by: aviateurpilot

salut les amis

trouver tous les fonction f: IR-->IR tel que:

quelque soit (x,y) de IR² f(f(x+y))=f(x+y)+f(x)f(y)-xy


Posted by: BiZi

Je crois qu'il y'a une erreur d'énoncé, parce que sinon ca fait
f(x)*f(y)=xy...


Posted by: aviateurpilot

j'ai modifié
merci pour la remarque bizi


Posted by: abel

Salut, je n'ai pas la réponse à ton pb mais j'ai quelques trucs et je voudrais savoir si je suis sur la bonne voie car là je ne vois pas comment avancer:

par condition nécéssaire :

j'applique le truc pour x=y=0 et je trouve :
fof(0) = (1+f(0)) * f(0)
du coup en prenant y=-x et en me servant de cela j'arrive à :
f(x)*f(-x) = x² + f(0)² et donc f est de classe C_infinie et f n'est pas un polynome.
Là je ne sais pas exploiter l'égalité, j'ai essayé de dériver mais ca me donne rien d'exploitable (à mon sens).

J'ai essayé avec y=0 et j'arrive à :
fof(x)=f(x) + f(0)*f(x) puis je dérive cette égalité 2 fois et je simplifie par f' qui n'est pas la fonction nulle (qui peut cpt s'annuler en qques pts mais bon je raisonne formellement) et j'arrive à :
f''of(x)=0


Posted by: yos

Citation:
Posté par abel
f(x)*f(-x) = x² + f(0)² et donc f est de classe C_infinie et f n'est pas un polynome.

C'est clair que f est C-infini ?(que f(x)f(-x) le soit, je suis d'accord).
A mon avis c'est une méthode un peu alambiquée, mais je peux me tromper.

En faisant y=0, tu trouves déjà fof(x)=kf(x) qui montre que la restriction de f à f(R) est linéaire. On peut penser que f est linéaire et on voit alors que k=1 est la seule solution.
En résumé je vote pour l'identité solution unique, mais il faudrait que je pousse un peu mes calculs.


Posted by: abel

Ouais je sais pas pourquoi je suis allé chercher les dérivées...
Sinon, on peut bien dire que f et fo(-id) sont de meme classe non et comme leur produit est C_infini du coup chacune est C_infini non ??


Posted by: Matthieu Perrinel

Posons y=0
f(f(x))=f(x)+f(x)*f(0)-0
f(f(x))=f(x)*(1+f(0))

Si f:IR->IR est surjective
Pour tout x appartenant à IR, il existe un réel a tel que f(a)=x
f(f(a))=f(a)*(1+f(0))
f(x)=x(1+f(0))
Donc f(0)=0*(1+f(0))
f(0)=0
Donc f(x)=x

Mais il reste, à mon avis, le cas où f:IR->IR n'est pas surjective.

Edit: Ou alors montrer que f:IR->IR est forcément surjective


Posted by: yos

Citation:
Posté par abel
on peut bien dire que f et fo(-id) sont de meme classe non et comme leur produit est C_infini du coup chacune est C_infini non ??

J'y crois pas trop.
Prends f nulle sur R+ et pas dérivable sur R-. Le produit f(x)f(-x) est toujours nul (car x ou -x est positif) et donc f(x)f(-x) est C-infini.


Posted by: abel

Je me coucherai moins bête....


Posted by: BiZi

Bonjour,

f(f((2x))=f(2x)+f²(x)-x²

et f(f(2x)=f(2x)+f(2x)*f(0)

D'où f²(x)=f(2x)*f(0)+x²

Mais je n'arrive pas à montrer que f(0)=0, ca résoudrait tous les problèmes en fait


Posted by: GaussFutur

c'est etrange je trouve une fonction en fonction de x et y de depart !
Je m'explique : je pose :

y = 0
j'ai donc
f o f(x) = f(x) + f(x)f(0) = f(x) ( 1 + f(0) )
posons k = 1 + f(0) j'ai donc f o f(x) = kf(x) d'où f(x) = kx

Cherchons k. il est clair que quelque soit k on a f(0) + 1 = 1 ce qui nous aide pas...
Mais reprenons l'equation de depart on a donc :

k²(x + y) = k(x + y) + k²xy - xy <=>

k²( x + y - xy ) - k(x + y) + xy = 0

et en posant a = (x + y - xy) b = -(x + y) et c = xy
on a une equation de la forme :

ak² + bk + c = 0

il est clair que a b et c sont symétrique (la bijecion reciproque est egale à la fonction) et donc que :

k dépend d'une des deux valeur x ou y.

Je cherche après une forme k = g(y) et donc f(x) = g(y)*x


Posted by: abel

f est une fonction d'une variable, elle ne dépend que de x (ou de y mais aps les 2).
Par contre comme il a été dit on n'a pas forcément f(x) = kx sur R mais sur f(R).


Posted by: GaussFutur

J'ai dit clairement que par la symetrie de a b et c on avait UNE variable non ?
Par contre je comprend pas ce que tu veux dire à propos de kx ?


Posted by: buzard

Bonjour,

1) (E) => (E')

J'aime pas le terme fof(x+y), alors je ramène l'équation à une equation sans :

(E) fof(x+y) = f(x+y) + f(x)f(y) - xy
=>

il existe g:R->R tel que f vérifie
(E') f(x)f(y) - xy = g(x+y), pour tout x, y dans R

on résoud donc d'abord (E') puis on regarde les solutions qui collent avec (E)

2) y=0

f(x)f(0) = g(x), pour tout x

l'equation devient donc
(E") f(x)f(y) - xy = f(0)f(x+y)

3) on a deux cas possibles f(0)=0 ou non

3a) f(0) = 0
on est ramener à l'equation f(x)f(y) = xy qui ne possède que deux solutions f(x)=x ou f(x)=-x.
Seule la première vérifie l'equation d'origine.

3b) f(0) = a /= 0

c'est le cas dure qui reste à traiter, il faut ici chercher les solutions de
af(x+y) = f(x)f(y) - xy

à partir de là c'est un peu flou, je vous laisse avancer un peu. voilà quelques relations que j'ai :

f(x)f(-x) = a²-x²

donc si on rremplace x par a (ou -a) on a que f(a)=0 ou f(-a)=0

j'ai bien l'impression que si des solutions existent à {(E") et a/=0} elles ne sont ni dérivable, ni même continue. mais c'est qu'une intuition.

A vous les studios.


Posted by: abcd22

Citation:
Posté par GaussFutur
J'ai dit clairement que par la symetrie de a b et c on avait UNE variable non ?

Mais ça t'a pas empêché d'écrire que f(x) = g(y)x... Il n'ya a pas besoin de démontrer que f est une fonction d'une variable, ça fait partie des hypothèses (et t'as aussi écrit plusieurs grosses c***eries dans ton raisonnement : f(f(x)) = kf(x) donc f(x) = kx : ça suppose f inversible, ce qui nest pas du tout évident, et surtout il est clair que quel que soit k, k = 1 (bon, c'est peut-être une faute de frappe là), puis des calculs inutilement compliqués pour trouver k...).


Posted by: buzard

J'eu pensé avoir suscité plus de réaction de votre part, ma contribution à fais plouf, et comme une enclume s'est échoué au fond de l'eau.

bon, pour résumer, je ramène cette equation pas trés simpathique à l'equation plus simple :

f(0) = a /=0
a f(x+y) = f(x)f(y) - xy

c'est quand meme plus facile à manipuler, si quelqu'un a la solution générale de ce truc, il suffis de retenir les solutions qui vérifie aussi l'equation original, on aura ainsi toute les solutions (excepter l'identité)

elle me fais penser à une l'equation fonctionnelle de l'exponentielle mais le terme xy chie dans le potage

qu'est ce qu'il en dit aviateurpilote, est-ce qu'il connais la réponse?


Posted by: aviateurpilot

Citation:
qu'est ce qu'il en dit aviateurpilote, est-ce qu'il connais la réponse?

oui

je ne sais pas pour quoi vous avez posté vos idees dans ce exo
et pour les autre exo d'olympiad
parfois je parle tt seul


Posted by: Amine.MASS

salut,
on a tous trouvé que
1/ f(x)f(-x)={f(0)}^2-x^2
2/ f(f(x))=(1+f(0))f(x)

donc f(f(0))=0 ou f(-f(0))=0 (en prenant x=f(0) dans 1/)
-si f(f(0))=0:alors selon 2/ f(0)=0 ou f(0)=-1
*si f(0)=-1:
alors f(f(x))=0 qlq soit x (selon 2/) donc f(f(0))=f(-1)=0
donc f(f(x+1-1))=0=f(x)+f(x+1)f(-1)+x+1
dc f(x)=-x-1 absurde avec f(f(x))=0 qlq soit x
*si f(0)=0:alors
Citation:
Posté par BIZI
f(x)²=f(2x)*f(0)+x²

f(x)=-x ne convient pas donc f=Id

-si f(-f(0))=0:alors f(f(x+f(0)-f(0)))=f(x)+f(x+f(0))f(-f(0))+f(0)(x+f(0))
donc f(f(x))-f(x)=f(0)(x+f(0))
donc f(0)f(x)=f(0)(x+f(0))
*si f(0)#0 alors f(x)=x+f(0) dc f(f(x))=x+2f(0)=(1+f(0))(x+f(0))
on trouve un absurde
*si f(0)=0 alors
Citation:
Posté par BIZI
f(x)²=f(2x)*f(0)+x²


conclusion:la seul solustion possible est Id
j'espere ne pas m'etre trompé quelque part
Cordialement,Amine


Posted by: buzard

Les relations que Bizi propose sont fausses, sauf dans le cas f(0)=0 mais je ne vois pas l'utilité de le laisser dans les formules. sinon pour éviter la confusion autant ecrire f(x)² plutot que f²(x). La deuxième notation est plus généralement utilisé pour la composition itéré des fonctions.

les seuls cas ou la notation est sans ambiguité c'est pour le cos et le sin, car on utilise rarement les compositions de fonction trigo.

Pour ton raisonnement, il semblais en effet plus simple de faire une étude cas par cas. Ca semble fonctionner, et ton résultat est donc juste, à priori.

ca veut dire aussi qu'aucune solution de {a f(x+y) = f(x)f(y) - xy}, ne vérifie l'equation de depart, c'est dommage.

je me demande meme si il y en a des solutions à cette equation.


Posted by: Amine.MASS

salut Buzard,
j'ai pas fait attention,je voulais dire f(x)²
merci Buzard je l'est corrigé
Amicalement,Amine


Posted by: BiZi

Pourquoi mes relations sont fausses, Buzard?


Posted by: Amine.MASS

bonsoir,
Citation:
Posté par BiZi
Pourquoi mes relations sont fausses, Buzard?

ils ne sont pas fausses,c'est juste une faute de notation:
f²(x) veut dire f(f(x)),alors que tu voulais dire f(x)²










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