équation fonctionnelle IMC 2000

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Posted by: lapras

Bonjour,
Trouver toutes les f:IR+* -> IR+*
telles que pour tout x, y > 0
f(x)*f(y*f(x)) = f(x+y)

Cette équation n'est pas évidente donc bonne chance et bon courage.
(source : IMC 2000)


Posted by: Rain'

f continue ?


Posted by: jver

Citation:
Posté par lapras
Bonjour,
Trouver toutes les f:IR+* -> IR+*
telles que pour tout x, y > 0
f(x)*f(y*f(x)) = f(x+y)

Cette équation n'est pas évidente donc bonne chance et bon courage.
(source : IMC 2000)



f(0)=1 est évident (y=0)

J'ai un peu regardé, ensuite:
f(x)*f(x*f(x)) = f(2x)

Est-il imbécile de développer en série:
f(x)=1+a_1 x+a_2 x^2+...


Je me suis peut-être trompé, mais je trouve que, a1 étant fixé
a2 est solution de a_2^2-2a_2+a_1^2=0
Puis, 8a_3=5a_1a_2+a_1^3

Mais je ne suis pas certain que çà me mènera bien loin!


Posted by: Rain'

f n'est pas définie en 0


Posted by: jver

Citation:
Posté par Rain'
f n'est pas définie en 0


Scuses, j'avais mal lu. L'énoncé voudrait-il dire que f n'est pas continue en 0?


Posted by: lapras

Aucune hypotheses supplémentaires (pas de continuité etc...)


Posted by: jver

Et si nous regardions f(x)=\frac{1}{Kx+1}


Posted by: ffpower

je pense aussi que c ca la solution mais bon(j ai du supposer que f était C1 et prolongeable en 0 lol)


Posted by: jver

Citation:
Posté par ffpower
je pense aussi que c ca la solution mais bon(j ai du supposer que f était C1 et prolongeable en 0 lol)



Moi, itou!
J' ai pris y=\Delta x et on arrive à une équation différentielle ...
Maintenant la question est celle d'autres solutions, éventuellement pas continues ...


Posted by: lapras

Oui mais vous sortez les gros outils là ! De plus on ne peut absolument pas supposer la continuité.
Il existe une démonstration basique (lycée) et une démonstration apperement plus technique.
En effet, 1/(ax +1) est l'ensemble de vos solutions. Bien vue !


Posted by: ffpower

Bon j ai reussi a montrer que f est continue,décroissante et qu elle tend vers 1 en 0 et vers 0 en l infini.Si avec tout ca j y arrive pas..^^


Posted by: lapras

Vas y poste ta démonstration


Posted by: emdro

Bonjour,

Soient x et z strictement positifs.
En posant y= z/f(x), la relation f(x)*f(yf(x))=f(x+y) donne
f(x)f(z)=f(x+z/f(x)).

L'expression f(x)f(z) étant symétrique, on a donc f(x+z/f(x))=f(z+x/f(z)).

Dans les cas où f est injective, on a x+z/f(x)=z+x/f(z),
et en fixant z, c'est fini.

Je ne vois pas encore pourquoi (à part la fonction égale à 1), f est injective...


Posted by: ThSQ

Suffit de montrer que f(t) < 1 pour tout t pour avoir f strictt décroissante et donc injective.

Si f(t) > 1, y = t/(f(t)-1) et blème car ça donne f(t) = 1.


Posted by: lapras

Exact ThSQ
Maintenant tu peux prouver facilement que si il existe x0 tel que f(x0) = 1, alors pour tout x f(x) = 1
reste le cas f(x)<1
alors
f(x)<f(x+y) (équation initiale)
donc f décroissante et en particulier injective


Posted by: emdro

Eh bien voilà, non?


Posted by: ffpower

Donc je suis parti de f(x)f(yf(x))=f(x+y) et j ai remarqué que si yf(x)=x+y,alors f(x)=1 en simplifaint..or yf(x)=x+y equivaut a f(x)=x/y+1,et x/y+1 ne peut etre egal a 1 donc on ne peut avoir f(x)=x/y+1.ceci etant vrai pour tout y,j en deduis que f(x) est plus petit que 1.maintenant,f(x+y)/f(x)=f(yf(x)) est plus petit que 1 donc f est decroissante.Les autres propriétés s en deduisent rapidement mais j ai pas encore reussi a conclure(mais ca ne saurait tarder^^)


Posted by: ffpower

Arggh,4 posts pendant le mien,comme je me suis fait grillé la snif..


Posted by: lapras

Emdro >
Ta solution a l'air bonne ! Je suis étonné je ne pensais pas trouver aussi simple !
ffpower > Oui c'est ca
Pour conclure on a une autre possibilité :
f(x)f(yf(x)) = f(x + y) = f(yf(x) + x + y(1-f(x))= f(yf(x))f((x +y(1-f(x))*f(y*f(x)))
par injectivité
(x +y(1-f(x))*f(y*f(x)) = x
on pose x = 1
z = x*f(1)
a = (1-f(1))/f(1)

on obtient :
f(z) = 1/(az + 1)


Posted by: ffpower

Bon ben du coup c est torché ouais,bien joué emdro pour la fin..Tres sympa en tout cas cette ptite equation..


Posted by: emdro

Citation:
Posté par lapras
tu peux prouver facilement que si il existe x0 tel que f(x0) = 1, alors pour tout x f(x) = 1


Comment le fais-tu?


Posted by: lapras

Supposons x0 tel que f(x0) = 1
alors
x = x0 =>
f(y) = f(y + x0) pour tout y
donc une période est x0
comme f(x) <= 1 pour tout x et que f est décroissante, alors f(x) = f(x0) = 1 pour tout x


Posted by: emdro

OK,
j'achète ta démonstration!












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