Mathématiques - Equation fonctionelle

Equation fonctionelle
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Posted by: lapras

Bonsoir,

Voici une très jolie équation fonctionnelle :
f : IN -> IN
Pour tout n dans IN :
f(f(n)) = n + 1987
déterminer f

Posted by: Nightmare

Bonsoir

f de N dans N ou de N* dans N* ?

Posted by: Nightmare

Non en fait ça revient au même.

Je propose la solution : " Pas de solutions". Je garde ma démo pour ceux qui veulent chercher encore.

Posted by: lapras

Exacte pas de solution
Tu es rapide nightmare, cette équation fonctionelle n'était pas évidente, du moins la solution que je connais.
Peut être as-tu justement trouvé une autre astuce, j'ai hâte de voir ça, mais laissons un peu chercher les autres.

Posted by: kazeriahm

Salut

http://www.maths-forum.com/showthre...&highlight=2007

Posted by: lapras

Arf je m'y attendais pas, désolé...
Bah en fait ma solution c'est celle de ThSQ avec les paires (n, r)
comme 1987 es impair ca revient au même que l'équation fonctionelle avec 2007.
Bon bah maintenant que tout le monde a la solution, nightmare, tu peux proposer ta solution ?

Posted by: ThSQ

Citation:

Posté par kazeriahm

Salut

http://www.maths-forum.com/showthre...&highlight=2007

J'm'disais bien que je l'avais vu, ou sa petite sœur, celle-là !

Posted by: nodgim

Une autre du même genre, mais un peu plus difficile:
Toujours définie dans N, f(n+1)>f(n) et f(f(n))=3n. Trouver f(2004)

Posted by: ThSQ

Une solution par petits pas :

- f(1) = 2 :

f(1) est forcément != 1 donc > 1
si f(1) = 3 alors f(3) = 3 impossible car f(3) > f(1) + 2
pareil si f(1) > 3

- f(2) = 3 direct
- f(3) = f(f(2)) = 6
- f(6) = 9 direct

9 = f(6) > f(5) > f(4) > f(3) = 6 ça donne f(4) et f(5)

.... par récurrence on finit sur f(2004).

Posted by: ffpower

Allez moi aussi j y met mon ptit morceau

Existe t il des fonctions f de N dans N telles qque f(f(n))=n² pour tout n?

Posted by: ThSQ

Il y en a au moins une !

f(1) = 1
f(2) = 3
f(3) = 2²
f(2²) = 3²
f(5) = 6
f(6) = 5²
f(7) = 8
f(8) = 7²
f(3²) = (2²)²
....

En gros on partage les non-carrés en deux tas u(n) et v(n) (un sur deux dans mon exemple) et f(u(n^(2^k))) = v(n)^(2^k), f(v(n^(2^k))) = u(n)^(2^k)

Posted by: ffpower

c exactement ca,bien joué..
edit:c d ailleurs pas tres compliqué que les seules fonctions qui marchent sont celles de la forme que tu as dit

Posted by: aviateurpilot

Citation:

Posté par ThSQ

En gros on partage les non-carrés en deux tas u(n) et v(n) (un sur deux dans mon exemple) et f(u(n^(2^k))) = v(n)^(2^k), f(v(n^(2^k))) = u(n)^(2^k)

bien joué, cmt t'a fait pour trouver c exemple??

voila ce que j'ai fait pour trouver tous les solutions possibles:
on suppose que l'ensembe des entiers naturel qui ne sont pas des carré parfait $X=\{x_i:i\in\mathbb{N}\}$ tel que $\forall i\in\mathbb{N}:\ x_{i+1}>x_i$

la 1er des chose c'est que $f(1)=1$ et $f(0)=0$ (evident)
$\forall n\in \mathbb{N}-\{0,1\},\exists (i,k)\in\mathbb{N}^2:\ n=x_i^{2^k}$
on a donc $f(n)=f(x_i^{2^k})$ et on a $f(x^2)=fofof(x)=f(x)^2$ d'ou $f(n)=f(x_i)^{2^k}$
alors pour determiner $f$ il suffi de trouver les $f(x_i)$ de tel sorte que $f(f(x_i))=x_i^2$

bien sur on sait avant qu'il existent $j,k$ tel que $f(x_i)=x_j^{2^k}$ donc $x_i^2=f(f(x_i))=f(x_j^{2^k})=f(x_j)^{2^{k}}$
donc on a:
1er cas: $f(x_j)\in X et k=1$ et donc $f(x_i)=x_j^2,f(x_j)=x_i$
2eme cas: $k=0$ et donc $f(x_i)=x_j,f(x_j)=x_i^2$
et mnt on peux dire que $f(x_i)=x_j$ ou $x_j^2$ pour un certain $j$

Citation:

et donc $f(x_i)\in\{x_i,x_i^2\}$ => $x_i=1$ (absurde car 1 est un carré parfait)

et bien sur on remarque avec ces 2 cas possible qu'on px construire des couple $(x_i,x_j)$ tel que $f(x_i)=x_j^2$ et $f(x_j)=x_i$
autrement dit, partitionner $X$ en deux partie $A=\{a_i:i\in\mathbb{N}\}$ et $B=\{b_i:i\in\mathbb{N}\}$ tel que $f(a_i)=b_i$ et $f(b_i)=a_i^2$

finallement: n'importe que $n\in\mathbb{N}$ s'ecrit sous la forme $0,1,a_i^{2^k}$ ou $b_i^{2^k}$
et on a f totalement definie par:
$f(0)=0$
$f(1)=1$
$f(a_i^{2^k})=f(a_i)^{2^k}=b_i^{2^k}$
$f(b_i^{2^k})=f(b_i)^{2^k}=a_i^{2^{k+1}}$
et ca presente bien tout les solution possibles

Citation:

Posté par nodgim

Une autre du même genre, mais un peu plus difficile:
Toujours définie dans N, f(n+1)>f(n) et f(f(n))=3n. Trouver f(2004)

là j pense que c'est un exo faux, car il a bcp de valeurs possible pour f(2007) sauf erreur.
1er exemple:
$f(3^{a}(3k+1))=3^a(3k+2)$
$f(3^{a}(3k+2))=3^{a+1}(3k+1)$
$f(2007)=f(3(3\times 222+2))=9(3\times 222+1)$

2eme exemple:
$f(3^{a}(3k+1))=3^{a+1}(3k+2)$
$f(3^{a}(3k+2))=3^{a}(3k+1)$
$f(2007)=f(3(3\times 222+2))=3(3\times 222+1)$
j'ai meme trouvé l'ensemble de solutions possible si vous voulez

Posted by: ffpower

pour mon exo,ca a l air de marcher(sauf qu on peut avoir f(0)=1 et f(1)=0 lol)
pour le 2eme exo par contre ton exemple n a pas l air de marcher a cause de l hypothese de croissance.Avec ton exemple je trouve f(3)=6 et f(4)=5

Posted by: ThSQ

Citation:

Posté par aviateurpilot

bien joué, cmt t'a fait pour trouver c exemple??

L'idée est assez classique : partager en deux tas et envoyer les éléments de l'un vers les éléments de l'autre. Restait à régler le problème des carrés pour remettre tout dans l'ordre. (pas très clair mais c'est l'idée que j'ai suivie).

(et j'ai rempli plusieurs feuilles d'essais infructueux ...)

Posted by: aviateurpilot

Citation:

Posté par ffpower

pour mon exo,ca a l air de marcher(sauf qu on peut avoir f(0)=1 et f(1)=0 lol)
pour le 2eme exo par contre ton exemple n a pas l air de marcher a cause de l hypothese de croissance.Avec ton exemple je trouve f(3)=6 et f(4)=5

pour le 1er t'a raison, mais cela ne change rien pour la solution general,
pour le 2eme, oui j'ai oublié le fait que f(n+1)>f(n).

Citation:

Posté par ThSQ

tres bien

Posted by: Imod

Eh oui , il a oublié d'être bête notre ThSQ

Imod

Posted by: ThSQ

J'ai pas oublié d'être têtu surtout

Posted by: Imod

Citation:

Posté par ThSQ

J'ai oublié d'être têtu surtout

Il semblerait plutôt que tu n'a pas oublié

Imod

Posted by: raito123

Citation:

Posté par aviateurpilot

j'ai meme trouvé l'ensemble de solutions possible si vous voulez

Vas y stp!!!

Posted by: ThSQ

Existe-il un fonction N* -> N* tq $f(f(n)) = n^n$

( même principe )

Posted by: ffpower

le meme principe marche avec toutes lol.allez dans R maintenant dans la foulée:
existe t il f telle que fof(x)=-x?
existe t il f telle que fof(x)=-x^3?

Posted by: ThSQ

Citation:

Posté par ffpower

fof(x)=-x

Celui-ci est vraiment 'stoche, voilà même un prog Maple qui le fait :

f := proc (x)
if (x = 0) then RETURN (0); fi;
if (x > 0) and ((ceil(x) mod 2) = 1) then RETURN (x+1); fi;
if (x > 0) and ((ceil(x) mod 2) = 0) then RETURN (-x+1); fi;
if (x < 0) and ((ceil(x) mod 2) = 1) then RETURN (-x-1); fi;
if (x < 0) and ((ceil(x) mod 2) = 0) then RETURN (x-1); fi;
end;

Posted by: lapras

Bonjour,
je n'ai pas eu internet pendant 1 semaine, donc j'ai pas pu chercher ton équation fonctionnelle, je fais ca la semaine prochaine en vacances (bcp de devoirs en ce moment)
l'équation fonctionnelle la plus tordu que je connaisse :
existe il une fonction f:IN* -> IN* telle que
pour tout n :
f(f(n)) = f(n)+ n

Bon courage !

Posted by: ThSQ

Citation:

Posté par lapras

existe il une fonction f:I* -> I* telle que
pour tout n :
f(f(n)) = f(n)+ n

Oui !

Posted by: lapras

Héhé !
Pour une fois que la réponse est effectivement "oui".
Maintenant peux tu me donner une solution ?

Posted by: ThSQ

Citation:

Posté par lapras

Maintenant peux tu me donner une solution ?

On va laisser les autres chercher un peu.

(Indice : nombre d'or )

Posted by: ffpower

c quoi I*?une notation originale pour designer les entiers?

Posted by: lapras

Désolé c'était IN* et non I*
Ou ThsQ c'est l'indice :)