Equation diophantienne

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Posted by: yos

Bonjour.

J'ai trouvé une solution un peu laborieuse à l'exercice d'arithmétique suivant :

Montrer que le produit de cinq entiers consécutifs n'est jamais un carré parfait (non nul).

Sans doute ferez-vous mieux que moi.


Posted by: Doraki

A part pour les facteurs 2 et 3, 5 nombres consécutifs sont premiers entre eux
Donc les apparitions d'autres facteurs premiers sont nécessairement avec une puissance paire.

Ensuite il doit y avoir quelques cas à regarder.
Dans tous les cas, il me semble que deux de ces 5 nombres doivent être des carrés. (Il y a 3 nombres avec une 2-valuation paire et pareil pour la 3-valuation, et forcément un multiple de 6 etc...)

Ensuite comme c'est dur de trouver 2 carrés aussi proches, ça doit pas etre bien long de vérifier que c'est impossible.


Posted by: Timothé Lefebvre

Yop,

peut-être avec les tiroirs ? C'est un exo d'Olympiades, on ne sait jamais ...

Si on considère les cinq entiers consécutifs v, w, x, y et z on peut rapidement trouver des possibilités sur ce que sont ces nombres (penser aux carrés parfaits justement).
Après on utilise le principe des tiroirs pour dire qu'il y a au moins deux nombres qui appartiennent à la même catégorie.

En bidouillant un peu tu te rends compte que z ne peut excéder une certaine valeur, et que pour ces valeurs de v, w, x, y, et z le produit ne donne pas un carré parfait.

Comment avais-tu fait toi ?

EDIT : ah, grillé à la minute près !


Posted by: Finrod

@Doraki -> Pour le facteur 5 aussi.

aprés, je ne vois pas,soit il y a une astuce très subtile, soit c'est bourrin.


Posted by: Timothé Lefebvre

Je n'ai pas d'autre solution que celle que j'évoque ...
Après, peut-être me manque-t-il des outils mathématiques pour explorer d'autres pistes.


Posted by: yos

J'ai fait en gros comme le suggère Doraki. Je vais essayer de détailler ça.

J'appelle x le facteur central. v_p(x) est pair sauf éventuellement pour p=2 , donc x est un carré ou le double d'un carré.

Si x=a², on a, en simplifiant, (x²-1)(x²-4)=y² donc x²-4 < y < x²-1, ce qui laisse deux possibilités seulement pour y : x²-2 et x²-3. On vérifie facilement qu'elles marchent pas.

Si x=2a², c'est plus embêtant. On regarde x+1. C'est un nombre impair, et par le même raisonnement que pour x, on voit que c'est un carré ou le triple d'un carré.
- Si x+1=3b², il faut un autre facteur de valuation 3-adique impaire et c'est nécessairement x-2. Ainsi x-2=3c² et donc 3b²-3c²=3 : impossible.
- Si x+1=b², on regarde x-1 : comme x+1, îl peut pas être de la forme 3d², donc c'est un carré. Là aussi c'est impossible car trop proche de b².

C'est ce que j'appelle laborieux. Il doit y avoir des raccourcis, voire une méthode bien différente.


Posted by: Doraki

En lisant ton post je me suis aperçu qu'en effet j'avais injustement écarté le cas où x = 2a².

Ce que tu as marche, mais je trouve pas ça si laborieux.
Après tout c'est le même argument à chaque fois.

En tout cas, ce que disait Timothée marche plus facilement :
Y'a forcément 2 nombres parmi les 5 qui ont les mêmes parités à leurs valuations 2 et 3-adiques par principe des tiroirs, et pouf.


Posted by: Finrod

Tiens en relisant j'ai une petite idée.

En regardant tous les cas pour la divisibilité par2 et 3, on se rend en effet compte que 2 des cinq sont des carrés. (normalement)

On les soustrait : On obtient 2(ou 3) = x²-y²=(x-y)(x+y) ce qui implique que (x-y) et (x+y)
sont chacun égaux à 1 ou 2 (ou à 1 ou 3).

x+y= 1 ou 3 implique que x et y sont plus petits que 9. IL ne reste plus qu'un petit nombre de cas à vérifier.

C'est l'argument de Doraki : il est dificile de trouver des carrés parfait consécutifs.


Posted by: yos

Citation:
Posté par Doraki
Y'a forcément 2 nombres parmi les 5 qui ont les mêmes parités à leurs valuations 2 et 3-adiques par principe des tiroirs, et pouf.

Tu peux avoir x-2,x et x+2 pairs avec des valuation impaire, paire et impaire respectivement.
Tu peux aussi avoir x (le facteur central) multiple de 3 (et seul à l'être du coup).


Posted by: Doraki

Ma phrase était sans-doute ambiguë.
En classant les nombres selon la parité de leur 2-valuation et selon celle de leur 3-valuation,
on classe 5 nombres dans 4 catégories donc il y a 2 nombres qui sont dans la même catégorie.
(et c'est exactement ce que disait timothé)

En les divisant par ce qu'il faut (1,2,3, ou 6) cela donnerait 2 carrés dont la différence est au plus 4,2,1 ou 0 respectivement.

Tu n'as en fait pas besoin de faire des études de cas dans tous les sens.


Posted by: yos

D'accord.
Je sentais bien l'amateurisme de ma solution.










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