Equation diophantienne

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Posted by: lapras

Bonjour

Citation:
Trouver tous les entiers naturels m et n tels que
(n^3 + 1)/(mn - 1) soit un entier.
(olympiade internationales 1994/4)

Citation:
Trouver tous les n entiers naturels tels que tous les nombres à n chiffres dont (n-1) chiffres '1' et un chiffre '7' soient premiers


Bon courage,
Lapras


Posted by: Imod

Citation:
Posté par lapras
Trouver tous les n entiers naturels tels que tous les nombres à n chiffres dont (n-1) chiffres '1' et un chiffre '7' soient entiers

Je ne comprends pas la question

Imod


Posted by: lapras

par exemple pour n = 4,
il y a les nombres
1117
1171
1711
7111
qui peuvent s'écrire avec (4-1) '1' et un '7'
on doit trouver tous les n tels que pour chacun de ces nombres soient premiers
ici si n=4 était solution ca voudrait dire que 1117,1171,1711 et 7111 seraient tous premiers.


Posted by: Rain'

Alors remplace entier par premier dans ta question


Posted by: lapras

Message edité excusez moi !


Posted by: ffpower

et n=7 par n=4 dans ton 2eme post^^
Bon sinon j ai obtenu qu il n y avait pas de solutions pour n superieur a 7
Si n est multiple de 3,tous les nb sont divisibles par 3
Reste donc n=2,4 et 5
n=2 convient,n=4 ou 5,ché pas faut vérifier


Posted by: lapras

c'est ca...
Annonce ta solution s'il te plait (en blanc pour ceux qui veulent chercher)


Posted by: ffpower

Oki(mais du coup,je vais pas pouvoir taper en Latex):

Soit A=11.....11=1/9(10^n-1).Les differents nombres qui doivent etre premier sont les Ak=A+6.10^k pour k=0...n-1.Soit p un nombre premier different de 2,3,5.On a Ak=0 modulo p equivaut a 10^k=-A/6 modulo p
(Z/pZ)* est cyclique et 10 different de 0 modulo p donc il existe k<p tel que 10^k=-A/6 modulo p sauf si -A/6=0 mod p c.a.d. 10^n=1 mod p c.a.d. p-1 divise n.

En particulier,je prend p=7:donc si 6 ne divise pas n, j ai obtenu k<7 tel que Ak=0 mod 7 ,donc si de plus n superieur a 7,c est gagné
Si 6 divise n,alors n est multiple de 3 et tous les Ak sont alors trivialement multiple de 3(somme des chiffres),donc c gagné aussi

J ai en fait obtenu que pour n superieur a 7,soit tous les nb sont multiples de 3,soit l un d entre eux est multiple de 7.

La methode semble pouvoir se généraliser en remplacant 1 et 7 par 2 autres chiffres,a part sur la fin.Je vais y reflechir tiens^^










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