Equation différentielle

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: yocto

C'est encore moa

Y'a t'il quelqu'un qui aurait la possibilité de vérifier ma solution de l'equa diff suivante :
y''-4y'+3y=x cos(3x) e^(2x)

Je trouve :

y=Ce^x + (-x/10 cos3x + 3/50 sin3x)e^(2x) + De^(3x)
avec C et D comme constantes


Posted by: Nightmare

Bonsoir

Tu peux faire la vérification par toi même en dérivant 2 fois puis en faisant la somme.


Posted by: yocto

oui mais le calcul semble un peu trop complexe

personne a un logiciel de calcul formel ?


Posted by: Nightmare

Tape wims sous google


Posted by: mathelot

idée pour simplifier tes calculs:
tu poses cos(3x)=0.5 (e^{3ix}+e^{-3ix})
et ça fait deux fois moins de travail à vérifier une solution particulière puisque l'on divise par 2 (lol)


Posted by: yocto

ça à l'air intéressant :)


Posted by: mathelot

oui, plus sérieusement, il suffirait de vérifier une solution avec comme second
membre xe^{2x+3ix} et l'autre solution particulière s'obtient en conjuguant la première et ensuite on moyenne les deux solutions.


Posted by: yocto

Laissez tomber, on va admettre qu'elle est juste, c plus simple


Posted by: mathelot

bon, je vais te le faire car il est tard.
on cherche une sol de la forme:
y=a x e^{x(2+3i)}
on dérive formellement:
y' =a e^{x(2+3i)} \left( 1 + x (2+3i) \right)
deuxième fois:
y'' =a e^{x(2+3i)} \left( 4+6i + x (2+3i)^2 \right)
reste à assembler, à simplifier l'exponentielle et à identifier
les nombres complexes, x étant réel.


Posted by: yocto

merci en tout cas et bonne soirée a vous


Posted by: mathelot

j'ai trouvé finalement la soluce particulière:
y_{0}=- \frac{1}{2}e^{2x} \left(\frac{x}{6}\cos(3x)-\frac{1}{11}\sin(3x) \right)


Posted by: le fouineur

Bonjour à tous,

Désolé de jouer les rabats-joie mais la solution que tu proposes,mathelot me semble fausse:en effet si on replace ton expression dans l'équation initiale,on obtient,comme solution particuliére:

y=Exp(2*x)*[5/6*x*Cos(3*x)+3/66*Sin(3*x)] qui est netttement différent de:

y=x*Cos(3*x)*Exp(2*x)


La bonne solution est la suivante:

y=-1/50*Exp(2*x)*[5*x*Cos(3*x)-3*Sin(3*x)]

Pour arriver à déterminer cette solution par le calcul,je propose d'effectuer une identification polynomiale en supposant que y la fonction inconnue est de la forme:

y=[(a*x+b)*Sin(3*x)+(c*x+d)*Cos(3*x)]

en dérivant une et deux fois y,on obtient:

y'=[(3*a*x+3*b+c+2*c*x+2*d)*Cos(3*x)+(a-3*c*x-3*d+2*a*x+2*b)*Sin(3*x)]*Exp(2*x)

y''=[(6*a+6*a*x+8*b+3*c-5*c*x-5*d)*cos(3*x)+(4*a-5*a*x-5*b-6*c-12*c*x-12*d)*Sin(3*x)]*Exp(2*x)

en multipliant les dérivées par les coefficients de l'équa diff puis en regroupant les termes puis en réduisant,on arrive à

(6*a+6*a*x+8*b+3*c-5*c*x-5*d-12*a*x-12*b-4*c-8*c*x-8*d+3*c*x+3*d)*Cos(3*x)=x*Cos(3*x)

aprés calcul,il reste: -6*a*x-10*c*x=x

il n'y a pas de termes en sin(3*x) dans le second membre de l'équation initiale,d'oû l'identification suivante:

4*a-5*a*x-5*b-6*c-12*c*x-12*d-4*a+12*c*x+12*d-8*a*x-8*b+3*a*x+3*b=0

après calcul il reste: -10*a*x-10*b-6*c=0 soit le système:

(1) -6*a-10*c=1
(2)-10*a*x-10*b=6*c pas de terme en x=>a=0 puis en reportant dans (1)

-10*c=1=>c=-1/10 en reportant c dans (2) il vient b=3/50

C.Q.F.D.

Quelqu'un voit-t'il une méthode plus simple pour y parvenir?J'attends vos suggestions....

Cordialement le fouineur


Posted by: fahr451

bonjour

on complexifie : on cherche une solution z de l équation avec second membre

z " -4 z ' +3 z = x exp [( 3i+2)x]

sous la forme

z = (ax+b) exp [(3i+2)x]

et on prendra y = Re(z)










-