Equation différentielle

(Cliquez-ici pour accéder à la version originale de cette discussion avec couleurs et images)





Posted by: chiantigallo

Encore bonjour ! Je suis un étudiant de physique de 3ème année en Italie. Toujours en étudiant l'oscillateur harmonique en phyQ j'ai un autre problème :

l'equation : \psi^{"} = \xi ^{2}\psi

admet la solution suivante : \psi = (polinome)e^{-\frac{\xi^{2}}{2}}

je ne comprends pas d'où ça vient...

Je croyais qu'une solution générale de cette équation était :

\psi = Ae^{\xi x}+Be^{-\xi x}

Merci d'avance pour votre aide !

Iak


Posted by: Pythales

Tu es sur que ce n'est pas \xi la variable, au lieu de x ?


Posted by: chiantigallo

Bonjour ! Merci Pythales pour tes deux réponses.

En effet la variable est \xi et ma solution est fausse. Cependant pourrais tu m'expiquer comment on arrive à :

\psi = (polinome) e^ {-\frac{\xi^2}{2}}

Encore merci !

Iak


Posted by: memphisto

Salut, j'ai pas trop le temps de regarder, mais si on fais l'hypothèse que la solution s'écrit comme tu l'affirmes, alors on doit avoir les relations suivantes:

Notons
\psi(x)=P(x)e^{-x^2/2}.
Alors
\psi'(x)=(P'(x)-xP(x))e^{-x^2/2}.
Donc
\psi"(x)=(P"(x)-xP'(x)-P(x))e^{-x^2/2}+(P'(x)-xP(x))(-x)e^{-x^2/2}
=(P"(x)-xP'(x)-P(x)-xP'(x)+x^2 P(x)) e^{-x^2/2}
=(P"(x)-2xP'(x)+(x^2-1)P(x))e^{-x^2/2}.
Donc
\psi"(x)-x^2\psi(x)=(P"(x)-2xP'(x)+(x^2-1)P(x))e^{-x^2/2}-x^2 P(x)e^{-x^2/2}
=(P"(x)-2xP'(x)+(x^2-1)P(x)-x^2 P(x)) e^{-x^2/2}
=(P"(x)-2xP'(x)-P(x))e^{-x^2/2}.

Cette dernière expression est nulle ssi l'expression
(P"(x)-2xP'(x)-P(x))
est nulle.

Question, trouver une fonction P qui annulle l'expression ci-dessus, et vérifier que c'est un polynome.
++


Posted by: Yipee

Le problème c'est que cette équation n'a pas de solution polynomiale. Si je ne me trompe pas l'équation y''-2xy +py = 0 admet des solutions polynomiales que si p est un entier pair. C'est la base de la quantification de l'energie par l'équation de Schrodinger.


Posted by: memphisto

Ok moi j'essayait de donner à chiantigallo des pistes. Je ne suis pas familier de la théorie de Schrodinger, mais quand il dit "je ne comprends pas d'où ça vient..." je pensais que ma petite analyse le renverrait à des notions qu'il connait, comme cette équation: y''-2xy +py = 0.
Pour ma part, je n'ai pas cherché a étudier les solutions d'une telle équadiff, mais ta remarque est intéressante. Donc si tu ne te trompes pas Yipee, c'est donc l'énnoncé qui est inexact.
Peux-tu nous apporter cette précision chiantigallo?
D'avance merci.










-