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Vieux 15/10/2010, 13h21
Daewin
Membre Rationnel
 
Sur Maths-Forum depuis: février 2006
Messages: 66
Red face équation différentielle de Bernoulli

Bonjour,

je bloque sur une équation de Bernoulli et j'ai besoin de votre aide.

la voici:

y' - y² + 8xy = 8x²
y'/y² - y²/y² + 8xy/y² = 8x²/y²

avec z=1/y et z'=-1/y²

alors : -z' - 1 + 8xz = 8x²z²

et mon problème c'est le 8x²z², qu'en faire ? ou fallait t'il faire une équation homogène y' - y² + 8xy=0 ?

je n'arrive pas à résoudre cette équation différentielle..


Daewin est déconnecté  
Vieux 15/10/2010, 14h59
Pythales
Membre Complexe
 
Sur Maths-Forum depuis: décembre 2005
Messages: 953
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Ce n'est pas Bernoulli, c'est Riccati
Pythales est déconnecté  
Vieux 15/10/2010, 15h14
Ericovitchi
Membre Complexe
 
Avatar de Ericovitchi
 
Sur Maths-Forum depuis: avril 2009
Messages: 8 146
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Et vu la solution que donne Wolfram, (lien )je crains que l'on ne puisse pas s'en tirer simplement en cherchant une fonction particulière et en posant y=y1+1/z
Ericovitchi est déconnecté  
Vieux 18/10/2010, 08h31
JeanJ
Membre Réel
 
Sur Maths-Forum depuis: janvier 2010
Messages: 274
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Bonjour,

y' - y² + 8xy = 8x² est une EDO non linéaire de Riccati.
Elle se simplifie en posant : y(x) = -(df/dx)/f ce qui conduit à :
(d²f/dx²) +8 x (df/dx) + 8 x² f = 0 qui est une EDO linéaire.
Pour se ramener à une forme standard, on pose f(x) = exp(-2 x²) F(x)
ce qui donne d²F/dx² - (8 x² +4)F = 0
Les solutions de base de cette EDO sont les fonctions "du cylindre parabolique" (Parabbolic Cylinder Functions) qui sont des formes particulière des fonctions de Kummer.
On trouve les propriétés de ces fonctions spéciales dans les handbooks de fonctions standards, ou par une recherche sur la toile.
JeanJ est déconnecté  

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