équation différentielle du 2nd ordre

[melisande]

Bonjour j'ai un petit problème pour résoudre cette équation différentielle :
y''-2y'-3y=0 .... il faut chercher delta non ? qui fait 16. mais apres je ne vois pas du tout!
merci pour votre aide .

[Quidam]

Bonjour j'ai un petit problème pour résoudre cette équation différentielle :
y''-2y'-3y=0 .... il faut chercher delta non ? qui fait 16. mais apres je ne vois pas du tout!
merci pour votre aide .

D'où sors-tu ce delta ? Qu'est-ce que c'est ça ? delta n'est pas défini !

[busard_des_roseaux]

Il faut chercher :zen:

[melisande]

oula ba la je ne comprend vraiment pas... pouvez vous m'expliquer ? çe serait très gentil...!!!!

[Quidam]

oula ba la je ne comprend vraiment pas... pouvez vous m'expliquer ? çe serait très gentil...!!!!

Pour que je puisse répondre à ta question ("il faut chercher delta non ?"), il faut que tu répondes d'abord à la mienne : "Qu'est-ce que ce delta dont tu parles ? Tu ne l'as pas défini !) Puisque tu parles de delta, je pense que tu sais ce que c'est ! Moi, je ne sais pas ! Donc je ne peux pas répondre à ta question !

[melisande]

ba pour moi delta c'est b²-4ac ... et le résultat est 16 !

[Quidam]

ba pour moi delta c'est b²-4ac ... et le résultat est 16 !

Ah d'accord ! Et comment veux-tu que je le sache ? , c'est une lettre, au même titre que a, b ou c ! Il fallait le dire que tu voulais parler du discriminant !

Alors la réponse est "OUI" ! Il faut calculer le discriminant !

Lorsque l'on est en présence d'une équation de ce type, on cherche des solutions du type

Si alors et .

Par conséquent, si une fonction du type est solution de l'équation :

y''-2y'-3y

... nécessairement
et donc :
Ceci signifie que est forcément une solution de l'équation :


D'où l'idée de chercher les racines de cette dernière équation, ce qui amène le plus souvent à en calculer le discriminant, que l'on peut appeler p, q, r, ou même peut-être .

Mais parler de delta sans dire qu'il s'agit du discriminant est tout simplement absurde. C'est comme si au beau milieu d'un problème tu parlais subitement d'une valeur m sans jamais en avoir parlé auparavant !

[BertrandR]

Alors pour une équation différentielle, tu pose y = , puis tu remplace dans l'équation pour trouver ce que l'on appelle l'équation caractéristique. Tu la résoud comme une équation du second degré, puis tu regarde ton delta. Si delta est positif, deux racines réelles r1 et r2 donc solution de l'équation
Si delta nul racine double r
Si delta négatif deux racines complexes, soit tu les transforme en cosinus sinus par Combinaison linéaire soit tu les laisse en exponentielles complexe.

Le cours, rien que le cours, toujours le cours. Il faut l'apprendre, la solution à ton problème est dedans!
Bonne chance

@Quidam : Tu m'as devancé ^^. Et qd même, bien que il n'ai pas été défini, le delta est le nom usuel du discriminant, tu pouvais te douter qu'il s'agissait de cela, notemment dans le cas d'un equadiff linéaire du 2nd ordre

[melisande]

il ne faut pas parler de cours quand on n'en a pas .... d'ou la difficulté à comprendre ! merci pour vos explications !
désolé oui c'était le discriminant sont je voulais parler ! et oui c'est absurbe désolé
merci

[busard_des_roseaux]

il ne faut pas parler de cours quand on n'en a pas ....

Sans cours, c'est difficile..... :hum:

Le type d'équations, sans second membre, que tu traites sont linéaires. Leur ensemble de solutions forme un espace vectoriel.

On cherche une base de cet espace vectoriel formée de deux fonctions exponentielles



Il suffit que les nombres et soient distincts pour que les deux fonctions forment une famille libre.

En cherchant deux exponentielles solutions, on est amené à résoudre une équation du second degré d'inconnue .

On montre que l'espace vectoriel des solutions d'une équation linéaire à coefficients constants de degré n, est au plus de dimension n.

De plus, si l'on dispose de n solutions,localement dans un voisinage de , linéairement indépendantes, elles le restent sur tout intervalle contenant .

Simplement parce que leur déterminant est lui-même une fonction vérifiant une équation différentielle du type y'=ky et s'il ne s'annule pas en un point, leur déterminant n'est jamais nul. C'est la théorie du Wronskien ou déterminant de Wronski.

Maintenant, si l'équation du second degré admet des racines complexes non réelles et , en posant , Re(f1) et Im(f1) sont des fonctions à valeurs réelles cette fois, solutions de l'équation.

Une base de l'e.v des solutions sera alors de la forme:






En espérant avoir été clair,

cordialement,

[Quidam]

@Quidam : Tu m'as devancé ^^. Et qd même, bien que il n'ai pas été défini, le delta est le nom usuel du discriminant, tu pouvais te douter qu'il s'agissait de cela, notemment dans le cas d'un equadiff linéaire du 2nd ordre

Bien sûr que j'avais deviné ! La question n'est pas là ! Les questionneurs ici veulent progresser en maths (enfin, c'est ce que je suppose !). Du fait que les élèves voient pour la première fois de leur vie la lettre lorsqu'ils apprennent ce qu'est le discriminant d'un trinôme du second degré, ils identifient au discriminant d'un trinôme du second degré ! C'est une erreur ! , c'est juste une lettre, au même titre que , , ou p, q, r !
J'ai cessé de jouer celui qui ne comprends rien lorsque melisande m'a répondu "ba pour moi delta c'est b²-4ac", mais j'aurais pu continuer ! Parce que de la même façon, elle n'avait pas défini a, b ni c ! Demande un peu à un élève de résoudre l'équation bx²+cx+a=0 ! La plupart d'entre eux seront perdus ! Cela n'a pas de sens de parler de b²-4ac si l'on n'a pas défini a, b et c ! Par contre, "le discriminant d'une équation du second degré "ax²+bx+c=0", c'est la quantité b²-4ac, et on est totalement libre de l'appeler t ou w ! Personnellement, je choisis , tu sais, la lettre grecque majuscule ? Mais avant de le faire, je dis "soit le discriminant de ce trinôme" ! Et si je pose une question à quelqu'un je ne demande pas "Faut-il calculer ?" ni, pire, "Est-ce que je dois FAIRE ?" ; je demande plutôt : "Dois-je calculer le discriminant de ce trinôme ?"...

Nombre d'élèves sont conditionnés par les lettres qu'ils ont l'habitude d'utiliser. Untel reconnaîtra immédiatement a²-b² comme identité remarquable et dans le même temps ne verra aucun moyen de factoriser !

Si je fais parfois semblant de ne pas comprendre, c'est justement pour que mes interlocuteurs réalisent leurs erreurs et les corrigent ultérieurement !

Bah, après tout, j'ai peut-être tort ! Mais c'est ma façon ! Jusqu'à ce que l'on me prouve que ce n'est pas la bonne méthode, je continuerai comme ça. Mais je suis ouvert à la discussion ...