Je connais Deux moyens pour determiner une equation d'un cercle.
1/ Connaitre le centre A(a,b) du cercle et son rayon R, on a alors :
M(x,y) appartient à C <=> (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2
2/ Connaitre deux point A et B du cercle diamétralement opposés et, grace
a une apllication du produit scalaire dans le plan, dire que :
M(x,y) appartient à C <=> vec(MA)*vec(MB)=0 (MA scalaire MB = 0)
car : tout point M d'un cercle, forme un triangle rectangle AMB,
rectangle en M si [AB] est un diametre de ce cercle. Et deux vecteurs
orthogonaux ont un produit scalaire nul, d'ou mes propositions.
J'espère que vous etes d'accord jusqu'a présent.
Passons a l'application :
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Trouver une equation du cerle de diametre [AB], sachant que :
A(0;4) et B(4;0) dans le repere ( O, vec(i), vec(j) )
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Les resultats que je trouve :
D'abord, grace a la méthode 1/
Le diametre [AB] a pour milieu I[2;2]
En effet,
(xA + xB) / 2 = xI = 2
et
(yA + yB) / 2 = yI = 2, d'ou I[2;2]
D'autre part, le rayon vaut IA :
IA = sqrt( (xI - xA)^2 + (yI - yA)^2 ) = sqrt(8) = 2*sqrt(2)(apres
calculs)
DONC pour ce cercle : (x-2)^2 + (y-2)^2 = 8
DEVELOPPONS : x^2 + y^2 - 4x - 4y - 8 = 0
Voila ce qu'il en est de l'equation du cercle avec la methode 1
Maintenant, voyons avec la méthode 2/
Soit M(x;y), nous avons toujours A(0;4) et B(4;0) donc
vec(MA)(x, y-4) et vec(MB)(x-4, y)
M appartient à C <=> MA scalaire MB = 0
vec(MA) * vec(MB) = x(x-4) + y(y-4)
(expression du produit scalaire dans un repere)
nous avons donc :
vec(MA) * vec(MB) = x^2 + y^2 - 4x - 4y (en developpant)
D'ou l'equation du cercle : x^2 + y^2 - 4x - 4y = 0
Comparons les equations trouvées :
Avec 1/ x^2 + y^2 - 4x - 4y - 8 = 0
Avec 2/ x^2 + y^2 - 4x - 4y = 0
Ma question (enfin) est : Pourquoi avons nous une différence ? N'est-ce
pas le meme cercle dans 1/ et dans 2/ ?
Il y a un -8 ! Qu'est ce qu'il fait là ???
Merci de m'avoir lu !!!