équation balistique

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Posted by: foo9

Bonjour.
Est-ce que quelqu'un peut me montrer comment obtenir l'expression analytique de la fonction u(a) solution de

du/da+tan(a)u = K/cos(a)

K étant une constante.


Posted by: anima

Citation:
Posté par foo9
Bonjour.
Est-ce que quelqu'un peut me montrer comment obtenir l'expression analytique de la fonction u(a) solution de

du/da+tan(a)u = K/cos(a)

K étant une constante.

On résout d'abord l'équation homogene:
u' + tan(a)u = 0
u=0 solution. Et pour ce qui est des intervalles, tout sauf pi/2+kpi.
u' = -tan(a)u
u'/u = -tan(a)

Or, tan(a) = sina/cosa
u'/u= - sina/cosa
Mais -sina est la dérivée de cosa
Donc...
u'/u = (cosa)'/cosa
on integre membre-a-membre.
ln|u| = ln|cosa| + k
e^(|u|) = e^(ln|cosa|)e^k k€R*
|u| = e^k cos|a| k€R*
Donc u = e^k cosa ou u=-e^k cosa (cos|a| = cosa vu que cos(-a) = cosa). Cependant, l'addition de e^k et -e^k décrit R*. On peut donc généraliser sous la forme de:
u = A cosa A€R (vu que k peut aussi = 0).
On vérifie...
u' = -Asina.
-Asina + Asina = 0. Solution de l'EH correcte.

On cherche maintenant une solution particuliere. Comme le dernier membre n'est pas d'un type "facile", je procede directement a la variation de la constante (je peux démontrer apres si tu veux ;))

On cherche une solution particuliere telle que u_0 = Acos(a) avec A(u) fonction.
Or, apres une démo, \Large A' = \frac{\frac{K}{cos(a)}}{cos(a)} \\<br /> = \frac{K}{cos^2 a} \\<br /> = \frac{2K}{1+cos2a} \\<br /> = \frac{(cos2a)'K}{1+cos2a}
\Large \rightarrow A=\int A'da=Kln|1+cos2a|
Et donc u_o = Kln|1+cos2a|cosa. Chaud chaud lapin ;)

et donc \large u = Acosa + Kln|1+cos2a|cosa sauf erreur (qui est improbable voir impossible pour la solution générale vérifiée, mais comme je n'ai pas vérifié le reste...


Posted by: foo9

Je ne comprends pas comment vous passez de
A'=2K/(1+cos(2a))
à
A=K ln|1+cos(2a)|

Est-ce une erreur ?


Posted by: anima

Citation:
Posté par foo9
Je ne comprends pas comment vous passez de
A'=2K/(1+cos(2a))
à
A=K ln|1+cos(2a)|

Est-ce une erreur ?

Oui, c'est une erreur. ;) Il faut que tu reprennes a partir de ceci, car...bon ok, il faut tenter un changement de variable en t=tan(a/2) surement, mais bon... C'est ton boulot










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