J'ai besoin de resoudre une equation de la forme : arctan(a.x) = b.x ( a et b étant des réels strictement positifs).
Quelqu'un pourrait-il m'aider ? (j'ai essayé d'utiliser des formules trigo pour supprimer le arctan mais sans succès)
Merci d'avance
Lolo03
Posted by: alben
Bonsoir,
Cette équation ne peut pas être résolue autrement que par des méthodes numériques.
En revanche, on peut montrer que la solution est unique sur un intervalle donné.
Posted by: Mike_51
arctan(ax)=bx => a/(1+(ax)²)=b => x²=(a-b)/ba² => x=..
Réciproquement tu montre que les solutions obtenues conviennent.
Ca marche?
Posted by: Tqup3
J'y ai pensé à la dérivée mais je n'es pas osé le mettre sur le forum car je n'étais pas persuadé de la justesse de cette démonstration...
Posted by: Lolo03
Je ne pense pas que cette solution fonctionne car (a-b)<0 pour les valeurs numériques de mon problème... De plus, ma calculette me donne des résultats corrects quand a<b (j'ai aussi fait une vérification graphique).
Posted by: Amine.MASS
Citation:
Posté par Mike_51
arctan(ax)=bx => a/(1+(ax)²)=b => x²=(a-b)/ba² => x=..
Réciproquement tu montre que les solutions obtenues conviennent.
Ca marche?
bonsoir,
tu ne peux pas dériver car tu cherches les solutions de cette equation
c_a_d tu cherches s'il existe des points ou arctan(ax)-bx s'annule (et non que arctan(ax)-bx =0 sur un intervale)
sinon cette equation n'admet que des valeurs approché par l'étude de la fonction et en utilisant le principe de dechotomie
cordialement,Amine
Posted by: boulay59
C'est "très faux" comme méthode parce que sinon, ça se saurait (!!) (et on se ferait pas chier à faire une théorie sur les racines des polynômes : il suffirait de dériver n fois et on obtiendrait le résultat !!)
Exemple : x²=1 ==> 2x=0 donc 0 serait la seule valeur possible en suivant ton raisonnement !! Réciproquement, ça ne marche pas donc l'équation x²=1 n'admet pas de solution !
Posted by: alben
Re bonsoir,
la première chose à faiire est de regrouper tes constantes en posant u=ax ton équation devient alors :pour u non nul.
La fonction arctan est définie sur R, son image est -pi/2 +pi/2. Mais la fonction arctan(u)/u donne des valeurs comprises entre 0 et 1 et elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Cela signifie :
- si b < a, il n'y a pas de solution
- si b > a; il y a deux solution de même valeur absolue et de signe contraire.
En se limitant aux valeur de x positives, la méthode la plus rapide est celle de newton.
Tu peux aussi attaquer l'équation tan(z) / z = a/b en posant z = bx mais son domaine de définition n'est pas le même
Posted by: Daragon geoffrey
slt
si ça peut aider pour une vérification, on pose en effet f(x)=arctan(ax)-bx dérivable sur R donc continue et de dérivée f'=(a-b(ax)^2/(1+(ax)^2) !
donc f' est du signe de 1-abx^2 polynome degré 2 en x qui admet 2 racines évidentes, a et b étant positifs, x1=1/rac(ab) et x2=-1/rac(ab) ! donc par définition f' est positive sur [-1/rac(ab);1/rac(ab)] et négative ailleurs ! tu calcules les images des 2 racines de f' par f pour trouver le signe de f et enfin les limites de f en + et - oo, celles da arctan étant de limites usuelles ! puis tu utilises le th des valeurs intermédiaires (ou la dichotomie) pour prouver que f admet un certain nombre de racines et en trouver une valeur approchée ! @ +
Posted by: yos
J'en rajoute une couche pour M51: on peut trés bien avoir f(x)=g(x) (les courbes de f et g se coupent au point d'abscisse x) sans avoir f'(x)=g'(x) (qui exige en plus même tangente au point d'abscisse x).
Je confirme : point de salut en dehors des méthodes numériques pour cette équation.
Posted by: Lolo03
Merci bien à tous pour votre aide... La méthode de Newton marche très bien et me suffit largement pour résoudre mon problème...
Posted by: aviateurpilot
si on vois les deux fonction f(x)=arctg(ax) et g(x)=bx "graphiquement"
on remarque que f(0)=g(0)
donc si f'(0)<g'(0) <=> a<b
ou aura f(x)<g(x) sur R+
et f(x)>g(x) sur R-
et la solution dans ce cas S={0}
si f'(0)>g'(0) <=> a>b
alors ils existents 3 solutions S={m,-m,0} avec m>0
si m est une solution -m et aussi une solution car les 2 fonction sont impaire
et on cherche une approximation de m
Posted by: alben
Bonjour,
Oui, tu as raison, aviateurpilot, je m'étais embrouillé dans mon message n°8 : omission de la racine triviale x=0 et inversion de a et b dans les inégalités.
pour u non nul.