Mathématiques - équa diff

équa diff
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Posted by: sandrine_guillerme

Bonsoir,

bon voilà, je propose un exo beaucoup plus facile que celui d'avant, mais j'avoue être perdue dans les notations, et j'ai quelques problème de rigueur ..

voici l'énoncé

On suppose que U est un ouvert de $\rm B \times E$ , ou $\rm B$ est un autre espace de Banach . étant donné $\Gamma : U \rightarrow L(B,E)$ de classe $\rm C^2$ , on veut trouver à quelle condition sur $\rm \Gamma$ l'équation $\rm \frac {dy}{dx} + \Gamma (x,y) = 0$ admet , pour tout $\rm (x_0,y_0) \in U$ et pour $\rm \epsilon > 0$ assez petit , une unique solution différentiable $\rm f = f_{x_0,y_0} : B_{ \epsilon} (a) \rightarrow E$ i.e $\rm Df(x) + \Gamma (x,f(x)) = 0$ vérifiant $\rm f(x_0) = y_0$ .

a/ Montrer que $\rm f_{x_0,y_0}$ est forcément $\rm C^2$ et déduire du théorème de Schwartz que l'on doit avoir $\rm D \Gamma (x,y) (X_1, -\Gamma (x,y)X_1)X_2 = D \Gamma (x,y)(X_2, -\Gamma (x,y) X_2)X_1$ quelque soient $\rm (x,y) \in U$ et $X_1 , X_2 \in B$

b/ Prouver que $\rm f_{x_0,y_0}$ est forcément donnée par $\rm (x,f_{x_0,y_0}(x)) = R_0^1(x,y_0)$ , où $\rm R$ est la résolvante de l'équation $\rm \frac{d}{dt}(x,y) + (0, \Gamma (x_0 + t(x-x_0),y)(x-x_0)) <br />$
c/ supposons que la condition dans la question a est vérifiée , vérifier que le fonction $\rm f_{x_0,y_0}$ ainsi obtenu résout le problème posé .

Commençons d'abord par la 1 ..

merci d'avance

Posted by: ffpower

une vraie fana de calcul decidément^^

Posted by: sandrine_guillerme

j'essaie d'aimer ! ^_^