equa-diff

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Posted by: fenecman

Bonjour, je vous donne l'énoncé complet de mon exo :
soit p\in C^{1}(\mathbb{R},\mathbb{R^{*}}), on considère l'équation différentielle sur R : y''+y'+2p^{2}y=0.
On suppose qu'il existe deux solutions non nulles de (E), y1 et y2 telles que y2=y1^2.
Montrer alors que y1 ne s'annule pas sur R.
Trouver une CNS sur p pour que la condition ci-dessus soit satisfaite.
Résoudre alors (E) .

Pour ce qui est de la première question ça va c'était pas trop compliqué( ), par contre sur la CNS je bloque, j'obtiens une relation entre y1 et p mais j'ai pas de relation sur p seul...
Merci de votre aide.(Si possible ne me donnez pas la réponse à la dernière question tout de suite !)


Posted by: fenecman

Bonjour, je me permet de faire remonter ce problème...
J'ai trouvé une condition necessaire sur p mais je n'arrive pas à montrer qu'elle est suffisante...
Si quelqu'un a l'ombre d'une idée !
Merci


Posted by: alavacommejetepousse

bonjour
écris ce que tu as fait


Posted by: remullen2000

Pour montrer que y1 ne s'annule pas, j'utiliserai le fait que le wronskien de y1 et y2 qui est égal à:

w=y1'y2-y1y2'
=y1'(y1^2) - 2(y1^2)y1'
=-y1'(y1^2)

s'annule toujours ou ne s'annule jamais.Si on suppose que y1 s'annule en un point "a" alors w(a)=0 et donc w(x)=0..Or comme les zeros de y1 sont forcément isolés il existe une boule autour de "a" où y1 ne s'annule pas et donc sur cette boule on aurait que y1' est nulle c'est a dire que y1 est constante et comme elle est continue vaudrait zero sur cette boule ...absurde

Pour la deuxieme question je trouve ceci.Si y1 est solution de cette equation, alors il est suffisant et nécessaire que p=+-y1'/y1 pour que y1^2 le soit..mais pas de condition indépendante de la solution...


Posted by: fenecman

Bonjour,
bon alors pour la deuxième question, voici mes calculs:
Si existe y1, y2 deux solutions non nulles telles que y2=y1^2
alors j'obtiens p= \epsilon~~\frac{y'_1}{y_1}~~,\epsilon=\pm 1.
p est C1 donc je derive p : et j'obtiens p'= \epsilon [ -p^{2} - 3p ] .
On peut trouver les solutions de cette équation en séparant les variables , si le dénominateur ne s'annule pas.
Mais pour remonter dans l'autre sens ( c'est à dire partir de l'aqua diff vérifiée par p , pour ensuite exhiber y1 et y2 qui vont bien ) je bloque...
Je me suis peut-être trompé de condition...
En espérant avoir été plus clair!!
merci de votre aide

Edit : pour la premiere question moi j'ai utilisé le théorème de Cauchy-lip .










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