équa diff

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Posted by: jojo0427

Bonsoir à tous,

je viens vous demander votre avis sur ce que j'ai fait et si vous pouriez me corriger si des erreurs sont présentes.

Alors voila l'énoncé:

Citation:
(E): 2y'(t)-4y(t)=(t²-8t+1)e(2t)

1- Trouver une solution particulière de (E) à l'aide de la méthode de la variation de la constante.


Voici mon résonnement:

Les solutions de l'équation st de la forme y(t)= Ae(-t).

On cherche une solution particulière sous la forme y(t)= A(t)e(-t)

On aura A'(t)= (t²-8t+1)e(2t).e(t) soit A'(t)= t²-8t+1

La fonction A(t)= (t^3/3)-4t²+t convient.

La fonction yE telle que yE(t)= [(t^3/3)-4t²+t]e(-t) est une solution particulière de (E).

Voila se que j'ai fait. C'est correcte??

MERCI d'avance


Posted by: Sa Majesté

J'ai de sérieux doutes ...
A ta place j'aurais pris y(t)= Ae(2t), car tu as du e(2t) dans l'équation et pas du e(-t)


Posted by: muse

ouais e vois pas pourquoi -t et pas 2t mais bon ...

dérvie une fois et remplace dans ton equa.diff tu vera bien si sa marche


Posted by: Babe

resoud l'equation homogene (=0)
puis utilise la variation de la constante


Posted by: jojo0427

Oui en effet je me suis trompé,

Les solutions de l'équation st de la forme y(t)= Ae(2t).

On cherche une solution particulière sous la forme y(t)= A(t)e(2t)

On aura A'(t)= (t²-8t+1)e(2t).e(t) soit A'(t)= t²-8t+1

La fonction A(t)= (t^3/3)-4t²+t convient.

La fonction yE telle que yE(t)= [(t^3/3)-4t²+t]e(-t) est une solution particulière de (E).

Voila j'ai modifié la chose c'est correcte à présent? J'ai un doute mais je ne sais pas quoi faire d'autre


Posted by: busard_des_roseaux

Citation:
Posté par jojo0427
\displaystyle y=\left( \frac{t^3}{6}-2t^2+\frac{t}{2}+K\right)e^{2t}


on réécrit la solution générale trouvée:

\displaystyle y=\left( \frac{t^3}{6}-2t^2+\frac{t}{2} \right) e^{2t}+ K e^{2t}

L'ensemble des solutions a une structure de droite affine:

une solution particulière + une droite vectorielle (paramétrée par K)


Posted by: Sa Majesté

y(t)= A(t)e(2t)
y'(t)=(A'(t)+2A(t))e(2t)
donc 2y'(t)-4y(t)=2A'(t)e(2t)

et comme 2y'(t)-4y(t)=(t²-8t+1)e(2t)

alors 2A'(t)=t²-8t+1
d'où la solution donnée par busard_des_roseaux


Posted by: jojo0427

ah ok je vois mon erreur


Posted by: jojo0427

je suis coincé sur une troisième question
Citation:
Donner la forme générale de (E)


Vous avez une idée?


Posted by: busard_des_roseaux

Citation:
Posté par jojo0427
\displaystyle y=\left( \frac{t^3}{6}-2t^2+\frac{t}{2}+K\right)e^{2t}


on réécrit la solution générale trouvée:

\displaystyle y=\left( \frac{t^3}{6}-2t^2+\frac{t}{2} \right) e^{2t}+ K e^{2t}

L'ensemble des solutions a une structure de droite affine dans l'e.v
des fonctions C^{\infty}

une solution particulière + une droite vectorielle (paramétrée par K)


Posted by: jojo0427

il faut juste dire que http://www.maths-forum.com/images/l...e0a39b3504e.gifc'est juste ça?


Posted by: busard_des_roseaux

Citation:
Posté par jojo0427
il faut juste dire que http://www.maths-forum.com/images/l...e0a39b3504e.gifc'est juste ça?



vi.


Posted by: jojo0427

se que je ne comprends pas c'est K, c'est quoi exactement?


Posted by: BertrandR

@ jojo :
K c'est une constante d'integration que tu peux choisir arbitrairement. Autrement dit, quelque soit la valeur de K, ta solution sera exacte.

(Si ca t'interesse ceci est du au fait que les solution de ton equation sont la base d'un espace vectoriel, et par consequent toute combinaison linéaire des elements de la base est solution de l'équation.)

@busard:
Est tu sur que les solutions sont dans l'espace vectoriel des fonctions C^{infini} ? Je sais que l'e-v des fonctionC^{1} convient et que C^{infini} est inclu dans celui ci, mais est ce que les solution d'une equadif du premier ordre sont forcement C^{infini} ? Merci :)


Posted by: busard_des_roseaux

Citation:
Posté par BertrandR
@busard:
mais est ce que les solution d'une equadif du premier ordre sont forcement C^{infini} ? Merci :)


euh, si f de classe C^{n} sur I entraine f de classe C^{n+1} sur I.










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