équa. diff.

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Posted by: sue

Bonjour ,

on a commencé ce matin les équa diff mais je ne comprend pas un truc dans la résolution d'une équa diff de second ordre de forme : y"+ay'+by=0 (E)
on a considéré les fcts x\to e^{rx} puis on en a déduit que la condition suffisante et nécessaire pour qu'elles soient solutions de (E) , est que r vérifie une équation particulière , d'ou l'équation caractéristique .

la question que je me pose d'ou vient le choix de x \to e^{rx} ?

MERCI


Posted by: rifly01

Bonjour,

Tu écris l'équation caractéristique de ton ED
r^2+ar+b=0

Soit r_0, r_1 deux solutions distinctes de cette équation.
Alors les solutions de cette équadiff sont les fonctions de la forme :

y=Ae^{r_0x}+Be^{r_1x}


Posted by: allomomo

Salut,


D'autres cas sont possibles ... le cas ou les racines sont les mêmes ou imaginaire.

Ces cas sont traités ici.
Cherche le mot 'différentielle' dans le moteur.


Posted by: sue

désolée je crois pas que tu as compris ma question , je cherche pas la forme des solutions de (E) mais tout d'abord avant même de trouver l'équation caractéristique pourquoi on a choisi les fcts x \to e^{rx} et non pas autres ? d'ou vient l'idée ?

suis-je claire ?


Posted by: alben

Bonjour,

C'est vrai que la forme exponentielle comme solution potentielle peut sembler parachutée.
On peut s'appuyer sur la solution de l'équation du 1er ordre sans second membre dont on montre que la solution est une exponentielle avec une constante solution de l'équation ar+b=0.


Posted by: sue

oui ok merci , c'est une idée

mais qd même je vois pas le rapport direct avec ça .
ce qui me parait plus logique c'est de partir des équation de second ordre pour trouver les solution .


Posted by: alben

Tu peux aussi partir du fait que l'exponentielle est la seule fonction non nulle qui soit égale à sa dérivée et si tu réfléchit à la forme de ton équation du second ordre, il apparait que pour ça marche, la solution doit avoir une dérivée qui lui ressemble beaucoup.
NB les sinus et cosinus ont aussi des propriétés proches. D'ailleurs comme la fonction nulle, ils peuvent être solution de ton équation.
Mais tout cela se généralise dans l'exponentielle (avec des exposants complexes)
Autre façon de t'en convaincre : vérifie qu'un polynome ne peut pas être la solution (il suffit de raisonner sur le degré)


Posted by: fahr451

ben pourquoi cherche-t-on des solutions exponentielles c'est la question ?

parce que ça marche (je vois que ça désolé )


Posted by: sue

Citation:
Tu peux aussi partir du fait que l'exponentielle est la seule fonction non nulle qui soit égale à sa dérivée et si tu réfléchit à la forme de ton équation du second ordre, il apparait que pour ça marche, la solution doit avoir une dérivée qui lui ressemble beaucoup.
oui effectivement , j'ai pensé à ça mais je n'étais pas sure de l'unicité , je me suis dit peut y a des fct que je connais pas et qui vérifient cette propriété .
sinon ok pour ce qui est des plynomes .

merci bien pour ta réponse alben


Posted by: sue

ok fahr , mais comment on a eu l'idée que cela va marcher ? y a qd meme pas mal de fct .


Posted by: fahr451

ce qu' a écrit alben est très juste

on peut résoudre l 'équation du premier ordre linéaire sans idée a priori

et ensuite on peut prier pour l équation linéaire du second ordre à coefficients constants

tu te poses des questions c'est bien

je me souviens qu'à ton âge quand j'ai vu la résolution pour la première fois j'étais simplement content de savoir résoudre


Posted by: sue

contente d'avoir en plus une idée sur son origine

merci à vous

bonne soirée!


Posted by: sue

salut !

une autre question que je me pose ..
dans le cour on a juste vu la résolution des équas. diffs. de premier et second ordre je me demande alors s'il y a des solutions générales des équa diff de 3ème ordre .
j'ai cherché un peu sur net mais je trouve pas grand chose !

auriez-vous une idée ?

merci


Posted by: fahr451

linéaires surtout

pour le premier ordre coeff quelconques

pour le second ordre et supérieur à coeffs constants


Posted by: sue

euh fahr mais je ne comrend pas ta réponse
peux-tu traduire ça en un français un peu moins soutenu stp ?


Posted by: fahr451

ok man

bon alors tu vois on sait pas faire bézef rapport aux équa diffs

on sait résoudre

celles là : y ' +a(x)y = f linéaire premier ordre
a y " +b y' +cy = f linéaire second ordre à coeffs constants

celles là tu les connais


on sait aussi

a(n) y ^(n) +....+ a(1) y^(1) = f avec a(n) ,...,a(0) des constantes

linéaire à coeffs constants d'ordre n


on sait en résoudre d'autres "particulières"
mais

y" + p(x) y = 0 on ne sait pas résoudre dans le cas général


Posted by: Joker62

Pour les équations d'ordre n on fait appel à la diagonalisation.
TEchnique super intéressante qui lie analyse et algèbre

ça ma assez plu :)


Posted by: fahr451

linéaires à coeffs constants joker sinon on est démuni


Posted by: Joker62

Oui j'ai manqué de précision c'est vrai :D
Mais j'vois mal diagonaliser une matrice de fonction lol :D
Enfin bref tout ça pour dire que c'est sympa les ED


Posted by: sue

bah voilà c'est plus compréhensible .

merci bézef bézef

(vous dites aussi bézef ? )


Posted by: Rain'

Citation:
Posté par Joker62
Enfin bref tout ça pour dire que c'est sympa les ED


lien
Fais ça et tu changeras peut être d'avis


Posted by: fahr451

il y a un demi siècle les équa diffs étaient de la botanique
si elle est comme çi on fait ça si elle comme ci on fait ci si elle est ni comme ci ni comme ça on est désemparé

puis vinrent les méthodes numériques de calcul approché avec des choses extrèmement intéressantes stabilité consistance


Posted by: Joker62

Comment c'est moche ce sujet lol
Je retire ce que j'ai dit !!! :D


Posted by: sue

Bonjour,

j'étais un peu pressée hier , me restait donc en tête une tite question !

tu disais fahr :
"y" + p(x) y = 0 on ne sait pas résoudre dans le cas général"

on sait pas faire parce qu'on a montré que c'est infaisable ou parce qu'on a pas encore arrivé à faire une généralisation vue que ça dépend de la nature de p(x) ? (je parle surtout du second ordre)

je pinaille je sais mais faut que je sache , peut être un jour j'offrirai qq chose à l'humanité en trouvant la soluce


Posted by: alben

Bonjour,

Que de questions !
Ce qu'il faut voir c'est que l'on arrive presque toujours à résoudre une équa diff par des méthodes numériques.
La technique est simple : on connait y'o et yo au point de départ, on peut donc calculer y"o par l'équation y"=f(y'o,yo,xo). En se plaçant peu plus loin du point de départ, en x1=xo+h, on sait que y'1 sera à peu près égal à y'o+h.y"o et y"1=f(y'1,y1,x1) et ainsi de suite .... Plus h sera petit meilleure sera la précision
En fait, il existe des méthodes plus efficaces et plus précises.
Tout ça pour dire que l'on arrive à calculer, étudier... des fonctions solutions d'équations différentielles "insolubles".
Le problème, c'est que ces fonctions ne peuvent pas s'écrire comme combinaisons (avec les 4 opérations) de celles connues (polynomes, fonctions trigo, exponentielle et log et c'est curieusement tout).
Il existe plein d'autres fonctions dites "spéciales" qui sont bien étudiées et définies comme solution d'une équation différentielle.


Posted by: alben

En complément car je n'ai pas vraiment répondu à ta question :
Dans la plupart des cas assez courant, on a vraiment prouvé que la solution ne pouvait pas s'écrire avec les fonctions usuelles, donc il n'y a rien à découvrir.
Dans d'autres cas, on a réussi à résoudre l'équation à l'aide de fonctions spéciales : si tu rajoutes une vingtaine de fonctions spéciales, de nombreuses équations deviennent solubles mais la plus grande partie restera sans solution.
par curiosité, les fonctions bizarres


Posted by: yos

J'en remets une couche sur les questions de Sue car je me suis posé les mêmes en mon temps (donc il y a longtemps).

Selon les programmes de TS actuels, la fonction exp est inventée pour résoudre l'ED y'=y (historiquement, il y a matière à débat mais c'est pas le sujet). Après,c'est une chance car elle permet aussi de résoudre ay'+by=0 et ay''+by'+cy=0.
Evidemment ça marche aussi pour ay'''+by''+cy'+dy=0 et même pour les ordres supérieurs. Le principe est toujours le même, on cherche si des fois par hasard une fonction genre x\mapsto e^{rx} serait solution. On est conduit à trouver les racines d'un polynôme de degré n, où n est l'ordre de l'équaton.
Pour n=3, c'est déjà plus très marrant. Ce que suggère Joker (transformer l'ED en un système linéaire, diagonaliser la matrice associée) est un joli détour pour tomber sur le même polynôme de degré 3 ; je lui suggère d'essayer sur un exemple; que cela ne grille pas l'algèbre linéaire à ses yeux.


Posted by: fahr451

oui yos

mais l'algèbre linéaire permet rapidement (n quelconque) de trouver une base de solutions

surtout quand les valeurs propres sont racines multiples du polynôme caractéristique


Posted by: yos

Loin de moins l'envie de critiquer l'algèbre linéaire. C'est seulement le côté pratique du passage à un système linéaire qui est douteux (pour une ED à coefs constants d'ordre 2 ou 3 par exemple).


Posted by: sandrine_guillerme

Citation:
Posté par sue
j'ai pensé à ça mais je n'étais pas sure de l'unicité



Un petit commentaire la dessus,

On m'avait fait faire un exo , y a un moment déjà pour prouver que la seule fonction qui est égal à sa dérivée .. ( et f(0)=1) est unique, et montrer que c'est bien la fonction exponnentielle,

Donc tu peux en être sure .. !


Posted by: fahr451

oui 2 ou 3 on fait ça très bien à la main


Posted by: sue

ah bah je vous remercie tous , c'est bien intéressant de savoir tout ça

merci aussi pour le lien Alben , j'ai découvert plein de fonctions dont j'ignorais l'existence !

je passe à la pratique mnt .

bonne journée .










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