Mathématiques - Enveloppe supérieure de familles de fonctions

Enveloppe supérieure de familles de fonctions
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Posted by: legeniedesalpages

Bonsoir,

je cherche l'enveloppe supérieure de la famille de fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ $(f_n)_{n \in \mathbb{Z}$ telle que pour tout entier n, $f_n\ :x \mapsto \sin(2 \pi n x)$ .

Pour x irrationnel, j'ai trouvé 1.
Mais apparemment ce n'est pas forcément le cas pour les rationnels,
par exemple pour $x = \frac{1}{2}$ j'ai trouvé 0.

Merci pour votre aide.

Posted by: alben

Bonjour,

Oui, tu as raison. C'est amusant !
On peut montrer avec Bezout que si x=p/q, irréductible, la valeur maxi atteinte par fn(x) sera identique à celle de x=1/q.
Si q est un multiple de 4, f(p/q)=1 sinon f(p/q) <1

Posted by: legeniedesalpages

Bonjour Alben,

merci pour ton aide, je crois que c est exactement ce que je recherche.
Donc je dois utiliser Bezout pour montrer que les seuls rationnels qui on leur enveloppe sup =1 sont les rationnels du type $p/4q$ avec p et q deux entiers premiers entiers.
Je vais tester. :)

Posted by: legeniedesalpages

hum, en fait j'ai du mal à exploiter bezout,

Alors, je suppose x rationnel.
Si x=0, l'enveloppe sup est 0.

Sinon j'écris x sous forme de fraction irréductible x = p/q.

D'après l'identité de Bezout, il existe deux entiers relatifs u et v tels que
$up+vq=1$ .
Donc $p = \frac{1 - vq}{u}$ , ie $x = \frac{1 - vq}{uq}$ .

Et là je n'arrive pas à exploiter ça pour montrer que la valeur maxi atteinte par fn(x) est identique à celle de x=1/q.

Posted by: alben

oui, on peut même s'arranger pour que u soit positif
$up+vq=1$ . Donc $\frac{up}{q}=\frac{1}{q}-v$
et $f_{ku}(x) = sin(2\pi k \frac{up}{q})=sin(2\pi k \frac{1}{q}-2\pi vk)=f_k(\frac{1}{q})$ .

Posted by: alben

On aurait aussi pu dire que si x est entier, f(x)=0 et que f(x+k)=f(x) avec k entier

Posted by: legeniedesalpages

D'accord,
mais je ne vois pas comment tu peux imposer u positif, et pourquoi faire?

Ensuite pour x = p/q avec p et q premiers entre eux et q multiple de 4,
je vois bien que l'enveloppe sup est 1.

Par contre, je ne vois pas comment trouver que pour les autres rationnels, ça ne fait pas 1.

Posted by: alben

Bonjour,
Tu peux commencer par remarquer que si x est rationnel, la suite fn(x) est périodique puisque $f_{n+q}(\frac{p}{q})= f_n(\frac{p}{q})$ et donc son maxi est atteint. Pour que f(x)=1, il faut donc qu'il existe n tel que
$sin(2\pi \frac{np}{q})=1 = sin(\frac{\pi}{2}+2k\pi)$ soit encore $np=\frac{q}{4}+kq.$ Comme n,p, k et q sont entiers, cette égalité n'est possible que si q est multiple de 4

Posted by: legeniedesalpages

D'accord tout est clair,
à part juste une notion à éclairer le fait que fn prend un nombre de valeurs finies implique que le sup est un max?

Merci en tout cas pour ton aide, alben qui a été très profitable. :)

Posted by: alben

Oui, dans un ensemble fini totalement ordonné, plus grand élément et borne supérieure sont identiques