Je cherche à tracer une surface de l'espace sur une feuille de papier (donc
dans le plan) en traçant des droites d'intersections de plans avec cette
surface.
Il est possible d'obtenir toutes les figures suivantes avec des logiciels,
mais j'aimerais pouvoir le faire "à la main".
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Equations préliminaires :
Comme exemple j'ai choisi la surface
(S) : z = x^2 * y
(avec x et y compris entre -1 et 1).
Pour ne pas avoir sur ma feuille une zone toute coloriée représentant la
surface, je cherche les intersections de la surface avec des plans
parallèles à (yOz) et (xOz).
Intersections de (S) avec (Pk), plan parallèle à (yOz) d'équation x = k :
(Pk) : x = k
(S) : z = x^2 * y
Soit le système :
x = k
z = k^2 * y
De même, on trouve pour l'intersection de (S) avec des plans (Qk')
d'équation y = k' :
y = k'
z = x^2 * k'
Ces deux systèmes sont les équations de courbes appartenant à (S), tout ça
dans l'espace. Maintenant,
moi je les voudrais projetées dans le plan
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On est dans l'espace dans le repère (O ; i, j, k) orthonormé direct.
Le plan de la feuille est (O ; u, v) orthonormé direct.
Le point O de l'espace est dans le plan de la feuille (même origine pour les
deux repères).
On a comme égalités de vecteurs :
j = u
k = v
Le dernier vecteur i n'est pas dans le plan de la feuille.
Voici le repère de l'espace tel que je l'ai choisi :
http://perso.wanadoo.fr/nbr/47/espace.bmp
(i est vers l'avant)
Au cas où, voici aussi le repère du plan :
http://perso.wanadoo.fr/nbr/47/plan.bmp
Et tant que j'y suis, voilà à quoi ressemble la surface (S) :
http://perso.wanadoo.fr/nbr/47/surface.gif
Attention, ce n'est pas la vue que je veux obtenir dans le plan de la
feuille !
(Tout est tracé pour des valeurs de x et y comprises entre -1 et 1, avec k
et k' variant de -1 à 1 par pas de 0,1.)
Si un point M de l'espace a pour coordonnées (x, y, z) et que son projeté M'
dans le plan a pour coordonnées (X, Y), on trouve alors les relations
suivantes :
X = y - 0,5x
Y = z - 0,5x
C'est à partir d'ici que je coince
Je n'arrive pas à introduire ces relations dans les deux équations de
droites (intersections de la surface avec des plans) de façon à n'avoir plus
de x, y ou z, mais seulement X et Y.
Comment faire ?
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Deuxième partie du problème :
L'exemple précédant montre (enfin devrait montrer, puisque je n'y suis pas
arrivé
le projeté des courbes de la surface dans le plan pour uneposition donnée du repère d'espace par rapport à (O ; u, v).
Pour aller plus loin, je voudrais généraliser et pouvoir tracer, dans le
plan, les courbes (intersections de la surface et de plans) de l'espace quel
que soit le côté par lequel on les regarde. (L'idée, c'est de pouvoir faire
tourner le repère de l'espace dans différentes positions par rapport au plan
de la feuille afin de mieux pouvoir visualiser la surface.)
Là, je ne sais pas du tout comment m'y prendre pour exprimer le "côté par
lequel on regarde le repère de l'espace". Je pense qu'on peut définir la
position du repère (O ; i, j, k) par rapport au repère (O ; u, v) en fixant
deux angles orientés :
(u, j) et (v, k)
(On pourrait en choisir d'autres...)
Je ne sais pas si c'est la meilleure solution, et je sais encore moins
comment trouver encore une fois les équations des projetés des vecteurs
unitaires, puis les équations dans le plan deux courbes appartenant à (S).
Je remercie déjà ceux qui sont arrivés au bout de mon message et encore plus
ceux qui vont essayer de m'aider dans ce problème.
Pour les réponses, merci de les adapter à un niveau TS, si c'est possible
--
Nicolas B.