ensembles applications

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Posted by: soriane

Svp comment on démontre que si g°f est injective, alors f est injective


Posted by: Non inscrit

absurde : si f ne l'est pas c'est impossible g rond f le soit


Posted by: Dieudonné

si x\neq y sont tels que f(x)=f(y) alors forcément g(f(x))=g(f(y))


Posted by: MooMooBloo

Pour montrer que f est injective, il suffit de montrer que f(x)=f(y) => x=y
Soit x et y tels que f(x)=f(y) alors gof(x)=gof(y) et puisque que fog est injective, x=y


Posted by: Dieudonné

Citation:
Posté par MooMooBloo
Pour montrer que f est injective, il suffit de montrer que f(x)=f(y) => x=y
Soit x et y tels que f(x)=f(y) alors gof(x)=gof(y) et puisque que fog est injective, x=y

SI on rassemble les morceaux c'est bien ce que je voulais dire...


Posted by: Alpha

Salut Dieudonné,

C'est vrai, sauf que ce n'est pas un raisonnement par l'absurde, c'est la contraposée de la proposition [ si gof est injective, alors f est injective] .

;)


Posted by: Dieudonné

Citation:
Posté par Alpha
Salut Dieudonné,

C'est vrai, sauf que ce n'est pas un raisonnement par l'absurde, c'est la contraposée de la proposition [ si gof est injective, alors f est injective] .

;)

euh... oui! exact!


Posted by: soriane

merci beaucoup c'est ce qui me semblait mais je n'en étais pas sure


Posted by: soriane

et quelle est la démo rigoureuse de "la composée de deux bijections est une bijection", j'en ai fait une mais on ma dit qu'il y avait un pb dans mon raisonnement
merci davance


Posted by: Dieudonné

Voici une demonstration precise :

soit g:A\rightarrow B et f:B\rightarrow C des appli bijectives

f\circ g est injective, en effet si f(g(x))=f(g(y)) alors comme f est inj g(x)=g(y) et comme g est inj aussi, x=y
f\circ g est surjective, en effet f est surj donc \forall z \in C,\ \exists y \in B,\ z=f(y)
de plus g est aussi surj donc \forall y \in B,\ \exists x \in A,\ y=g(x)
donc au final, il existe un x\in A tel que z=f\circ g(x)

Voilà!


Posted by: soriane

merci beaucoup j'ai vu le petit truc qui n'allait pas dans ma démo
pendant que j'y suis, pour démontrer que "si g°f est bijective, f est injective et g surjective" , on fait le même type de démo que pour montrer que "si g°f est injective, f est injective"?
merci davance de m'éclairer car j'ai un peu de mal dans tout ce qui concerne les bijections


Posted by: Dieudonné

si g°f est bijective, f est injective et g surjective

et bien, si g°f est bijective, elle est injective et donc tu peut appliquer tel quel le resultat "si g°f est injective, f est injective" et t'obtiens f injective (sinon tu recopies la demo de ce resultat)
Soit dit en passant, l'injectivité se montre (en general) en posant f(x)=f(y) et en en deduisant (selon les hypotheses) que forcement on doit avoir x=y

Pour ce qui est de la surjectivité la méthode générale (une des, si ce n'est la, plus courrante(s)) est de prendre un élément quelconque de l'ensemble d'arrivée de l'appli, disons y, et de chercher un point de l'ensemble de départ x tel que son image soit y, i.e. tel que f(x)=y.
Ici, par exemple, on suppose que f part de A va dans B et que g part de B et va dans C, on prend donc y quelconque dans l'ensemble d'arrivée de g qui est C, on utilise les hypothèses: g°f est bijective, donc elle est surjective, donc il existe x dans A (son ensemble de depart) tel que g°f(x)=y.
Or g°f(x)=g(f(x)), on s'apercoit par consequent que l'element f(x) est un antecedant de y par g (ie g( f(x) )=y) donc l'element y admet un antecedant par g.
y etant quelconque cela signifie que g est surjective (tout elemnt de l'ensemble d'arrivée admet un antecedant)

j'ai fait un effort d'explication pour la pedagogie et j'espere que toutes ces explications qui se veulent eclairantes ne compliquent pas en fait l'histoire


Posted by: soriane

merci maintenant je pense avoir bien compris, j'ai fait des exo dessus et ils ne m'ont ppas trop posés de pb, contrairement à avant!










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