ensemble à trouver

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Posted by: BiZi

Bonjour,

Un exo olympiade intéressant et original:

Montrer qu'il existe un ensemble A d'entiers strictement positifs ayant la propriété suivante :

pour tout ensemble infini S constitué de nombres premiers, il existe un entiers k supérieur ou égal à deux et deux entiers strictement positifs m et n,
m\in A, n\not\in A, chacun d'eux étant un produit de k éléments distincts de S.

A vous de jouer!


Posted by: Rain'

En tout cas si y a existence, y a clairement pas unicité.

J'ai fait la moitié du boulot


Posted by: ThSQ

Effectivement très original et très intéressant (et très coriace .....). C'est sûrement une olympiade russe, ils sont spécialistes de ce genre de truc prise de tête.

Je pense avoir trouvé une construction ad-hoc.

On range les nombres premiers : p1 < p2 < ....

On considère tous les produits de n+1 nombres premiers dont le plus petit est pn :
2*3,2*5,2*7,....
3*5*7,3*5*11, ...., 3*7*11, ....
5*7*11*13,5*7*11*13, ....
7*11*13*17*19, ....

Maintenant S = \{ p_{\phi(1)}, p_{\phi(2)}, .... \}
Alors p_{\phi(1)} p_{\phi(2)} .... p_{p_{\phi(1)} (= le produit des p_{\phi(1)} premiers nombres premiers de S) est dans A mais p_{\phi(2)} .... p_{p_{\phi(1)}} n'est pas dans A.


Edit : C'est bon là ...


Posted by: aviateurpilot

suposons que 4$ p_1&lt;p_2&lt;p_3&lt;... sont les nombres premiers
pour 4$ k\in\mathbb{N}^* soit 4$ A_k=\{\bigprod_{j=1}^{k}p_{a_j}:\ a_1&lt;a_2&lt;...&lt;a_j\in\mathbb{N}^*-\{k\}\}
on pend donc 4$ A=\bigcup_{k\in\mathbb{N}^*}A_n

mtn soit 4$ S une ensemble infini de nombres premiers
on peut toujours ecrire 4$ S sous la forme 4$ S=\{p_{b_j}|(b_j)\ une\ suite\ srictement croissante\}
on pend 4$ \{k=b_1\\n=\bigprod_{j=1}^{b_1}p_{b_j}\not\in A\\m=\bigprod_{j=2}^{b_1+1}p_{b_j}\in A_{b_1}\subset A










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