Ensemble de polynomes base et dimension

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Posted by: hqckers

Soit E={P \in R_6[X] ; P(2)=P(3)=0}. Montrer que E est un R-ev ( fait par la caractérisation ) de dimension finie ( s-ev de R_6[X] ).
Je bloque a Préciser la dimension et une base de E.
je sais simplement que dim_R E \le 7.


Posted by: Rain'

Soit P € E

P(2)=P(3)=0

Donc P(X) = Q(X)(X-2)(X-3) où Q€R4[X].

Tu peux trouver la dimension et une base maintenant ?


Posted by: hqckers

jvoi pa cmt


Posted by: Rain'

alors vérifie que ((x-2)(x-3),x(x-2)(x-3),x²(x-2)(x-3),x^3(x-2)(x-3),x^4(x-2)(x-3)) est famille libre et génératrice de E.


Posted by: hqckers

a ui évidemment, je me sens bete la dessus :s merci


Posted by: mathelot

Bonjour,
il y a une autre méthode:
tu peux considérer les polynomes d'interpolation de Lagrange aux points
x_{0}=0,x_{1}=1,\cdots,x_{6}=6
soient 7 polynomes de base donnés par les formules:
\displaystyle P_{j}(x)=\frac{ \prod_{i \neq j} \, (x-x_{i}) }{ \prod_{i \neq j} \, (x_{j}-x_{i})}

Un polynome Q quelconque a pour coordonnées Q(x_{0}),Q(x_{1}),\cdots,Q(x_{6}) dans cette base
et on obtient une base immédiate du sous e-v E considéré:
\displaystyle \{ P_{j} \}_{j \neq 2,3}


Posted by: fahr451

bonsoir
y a encore une autre méthode ("plus naturelle" , plus longue et toujours moins bien que celle de rain)

pour P le décomposer dans la base canonique écrire le système en les coefficients P(2) = P(3) le résoudre et en déduire base et dimension










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