Mathématiques - Ensemble injection, surjection

Ensemble injection, surjection
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Posted by: mayele

Bonsoir tout le monde, je suis confronté à un exo qui me pose quelques soucis:

Soient E et F 2 ensembles. Soit f€ F^E. On définit h: P(E)->P(f)
B->f^-1(B)

1) Montrer que : f surjective =>h injective
2)Montrer que :h injective=> f surjective.

Ce la revient à démontrer que f surjective<=>h injective. Mais la je bloque f^-1(B) représente l'application réciproque de f sur B

Posted by: busard_des_roseaux

bsr,
supposons f surjective.
$h(B)=h(C)$
$f^{-1}(B)=f^{-1}(C)$
$f(f^{-1}(B))=f(f^{-1}(C))$
$B \cap Im(f) = C \cap Im(f)$
$B=C$

réciproque
$f^{-1}(Im(f))=E=f^{-1}(F)$
d'où $Im(f)=F$ car h injective.