Omb 2014

[laFriteduBelge]

Bonsoir :ptdr: ,

Je participe à la prochaine Olympiade de Mathématique Belge et j'ai la très modeste ambition de me qualifier pour la demi-finale (à savoir que la structure de cette compétition se divise en trois phases inclus les qualifications). Dans ce but, je me prépare du mieux possible car je veux mettre toutes les chances de mon côté. J'ai déjà travaillé une première fois l'intégralité des questions du questionnaire de l'année passée que j'ai obtenu via ma professeure de mathématiques. Il y a une bonne partie que je ne parviens pas à résoudre, raison pour laquelle je viens quérir votre aide ici. Le but n'étant pas absolument d'avoir la bonne réponse, mais plutôt que je saisisse la logique qui se cache derrière chaque type d'épreuve. Dans cette optique, pouvez-vous davantage me donner une piste à suivre plutôt que la réponse directement. Cela me poussera à la réflexion ainsi. Merci d'avance.

Q1 : Dans une académie musicale, il y a des violonistes qui ne sont pas pianistes. Tous les organistes sont pianistes. Laquelle des propositions suivantes est correcte ?

A) Il existe des violonistes qui ne sont pas organistes.
B) Il existe des violonistes qui sont organistes.
C) Il existe des organistes qui sont violonistes.
D) Il existe des organistes que ne sont pas violonistes.
E) Aucun organiste n'est violoniste.

=> Selon moi, il existe deux bonnes réponses possibles. Cependant, la réponse attendue officiellement est la A. Mais prenez connaissance de mon raisonnement et dîtes moi si je me trompe.

- L'académie se compose à la fois de violonistes et de pianistes (2 ensembles). Par ailleurs, étant donné qu'il existe des violonistes non-pianistes, on peut supposer qu'il existe également des violonistes-pianistes (=> l'ensemble des violonistes est divisé en deux). Vu qu'il existe des violonistes simples ou violonistes-pianistes, on peut également dire qu'il existe des pianistes simples et des pianistes-violonistes (=> l'ensemble des pianistes est divisé en deux). Nous nous retrouvons avec deux ensembles, violonistes et pianistes, chacun subdivisé en deux en fonction de la double casquette portée par chacun de ses membres (exemple : violoniste pianiste, pianiste simple, etc...). Puisque l'on nous dit que tous les pianistes sont organistes, on peut affirmer qu'il existe des deux autres types de violonistes : organistes et non-organistes étant donné que les pianistes regroupent les organistes qui correspondent aux pianistes-violonistes et aux pianistes simples.

Q2 : La somme des angles intérieurs d'un polygone régulier vaut 12 angles droits (soit 90°.12 = 1080°). Ce polygone est un ...

A) Carré
B) Pentagone
C) Hexagone
D) Octogone
E) Décagone

=> Je n'ai pas trouvé le cheminement. La réponse correcte est la B, mais je ne vois pas pourquoi.

Merci d'avance pour vos précieux commentaires :marteau:

[fatal_error]

hello,

alors pour la premiere

Puisque l'on nous dit que tous les pianistes sont organistes

non on dit que tous les organistes sont pianistes
Mais au lieu de faire une prose, tu peux faire un dessin:

Code: Tout sélectionner




              xxxxxxxxxxx
          xxxxx          xxx xxxxxxxxxx
         xx                xxx         xxxxx
        xx                xx xx            xxx
       xx    Pianistes   xx    xx             xx
       x                 x      x               xx
      xx             xxxxxxxxxx xx                xx
       xx         xxxx  x     x  x                 xx
        x        xx     x     x  x                  x
        xx       x      xx   xx  x    Violonistes   x
         xx      xxx ^   xxxxx   x                 x
           xx      xx|xxxxx    xx                 x
            xx       |     xx xx                 xx
              xxx    |      xxx                xxx
                 xxxx|xxxxxx  xxxxxxxxxxxxxxxxx
                     |
                     |
                     |
                     |
                     |
                     +
                     organisateurs


comme tu le vois, les organisateurs sont contenus dans l'ensemble des pianistes...
l'intersection entre les pianistes et les violonistes, ben ils sont violonistes et pianistes..
De même l'intersection entre les organisateurs pianistes et violonistes, ils sont les trois à la fois

[jonses]

Bon bah, j'ai été trop lent :we:

[BabyDactylus]

C'est bizarre, pour la deuxième question je trouve la réponse D.

Car il faut savoir une propriété très simple : la somme des angles intérieurs d’un polygone ayant n côtés est (n - 2) * 180º.

Donc pour trouver la solution, on pose l'équation 180(n-2)=1080
ce qui donne : n = 1080/180 + 2 <=> n = 6 + 2 = 8

Par conséquent c'est un OCTOGONE...

Je suis presque 100% sûr !!
Ou alors je ne comprend pas.

[laFriteduBelge]

hello,

alors pour la premiere

non on dit que tous les organistes sont pianistes
Mais au lieu de faire une prose, tu peux faire un dessin:

Code: Tout sélectionner




              xxxxxxxxxxx
          xxxxx          xxx xxxxxxxxxx
         xx                xxx         xxxxx
        xx                xx xx            xxx
       xx    Pianistes   xx    xx             xx
       x                 x      x               xx
      xx             xxxxxxxxxx xx                xx
       xx         xxxx  x     x  x                 xx
        x        xx     x     x  x                  x
        xx       x      xx   xx  x    Violonistes   x
         xx      xxx ^   xxxxx   x                 x
           xx      xx|xxxxx    xx                 x
            xx       |     xx xx                 xx
              xxx    |      xxx                xxx
                 xxxx|xxxxxx  xxxxxxxxxxxxxxxxx
                     |
                     |
                     |
                     |
                     |
                     +
                     organisateurs


comme tu le vois, les organisateurs sont contenus dans l'ensemble des pianistes...
l'intersection entre les pianistes et les violonistes, ben ils sont violonistes et pianistes..
De même l'intersection entre les organisateurs pianistes et violonistes, ils sont les trois à la fois

Merci beaucoup de ta réponse. En effet, la schématisation ensembliste résume tout. On voit effectivement que les organistes peuvent très bien être violonistes, pianistes, ou les deux à la fois. L'erreur vient donc d'une légère incompréhension de l'énoncé. Merci beaucoup encore !!!

PS : Ta méthode de représentation est bien plus efficace que la tartine phraséologique que j'ai pondu haha ! Désolé.

[laFriteduBelge]

C'est bizarre, pour la deuxième question je trouve la réponse D.

Car il faut savoir une propriété très simple : la somme des angles intérieurs d’un polygone ayant n côtés est (n - 2) * 180º.

Donc pour trouver la solution, on pose l'équation 180(n-2)=1080
ce qui donne : n = 1080/180 + 2 n = 6 + 2 = 8

Par conséquent c'est un OCTOGONE...

Je suis presque 100% sûr !!
Ou alors je ne comprend pas.

:marteau: Avant toute chose, merci milles fois pour m'avoir communiqué ladite propriété, car je ne la connaissais pas.

Quant à ton raisonnement, j'ai tout lu et tu as parfaitement raison. Je viens corroborer ce que tu avances par deux sources Internet : http://fr.wikipedia.org/wiki/Octogone (début du paragraphe sur les propriétés d'un octogone régulier) et http://mathsaucollege.voila.net/geometrie5/geometrie5f/supgeo5f1.htm (la somme angulaire interne vaut 540°) !

Salut :ptdr: !

[laFriteduBelge]

Excusez-moi, mais je viens de me rendre compte que c'est moi qui a été distrait. La réponse était l'octogone. Donc, pas de problèmes (vous apprendrez que je suis hyper distrait). Merci !

[beagle]

"Dans une académie musicale, il y a des violonistes qui ne sont pas pianistes. Tous les organistes sont pianistes. Laquelle des propositions suivantes est correcte ?"

Ne faut-il pas mieux demander laquelle des propositions est toujours vraie?
Car les autres propositions ne sont ni vraies , ni fausses, simplement indécidables par manque d'infos.
Est-ce incorrect que de ne pas savoir-pouvoir décider?
N'a-t-on pas le droit d'ètre hésitant?
Je n'arrive pas à trancher!

[laFriteduBelge]

Bonsoir tout le monde :ptdr: !

Q3 : Démontrer que le produit de deux fonctions continues n'est pas nécessairement une fonction continue.

=> Pour cet exercice, je connais la réponse, mais je ne sais pas correctement justifier. En effet, je ne sais pas trop définir une fonction continue (à mon sens, il s'agit d'une fonction qui n'admet pas d'asymptote et dérivable en aucun point). Auriez-vous la gentillesse de m'expliquer ? Pour ce qui est de la justification, j'ai eu l'idée de prendre deux fonctions usuelles simples et continues (je ne vois pas trop lesquelles d'ailleurs), de faire leur produit pour ensuite démontrer qu'il ne forme pas obligatoirement une fonction continue.

Q4 : Combien de fois les aiguilles des heures et des minutes d'une horloge forment-elles une angle de 180° dans une journée (24 h) ?

A) 11
B) 12
C) 22
D) 23
E) 24

=> Ici, je sais expliquer très grossièrement mon raisonnement. C'est la proposition C qui est correcte. Mais n'y aurait-il pas un moyen mathématique de démontrer cela ? Merci !

Bien à vous :id: !

[laFriteduBelge]

S'il vous plait :mur: !

[Losange]

Bonsoir tout le monde :ptdr: !

Q3 : Démontrer que le produit de deux fonctions continues n'est pas nécessairement une fonction continue.

N'y aurait-il pas une erreur d'énoncé ?

[Losange]

Q4 : Combien de fois les aiguilles des heures et des minutes d'une horloge forment-elles une angle de 180° dans une journée (24 h) ?

A) 11
B) 12
C) 22
D) 23
E) 24

=> Ici, je sais expliquer très grossièrement mon raisonnement. C'est la proposition C qui est correcte. Mais n'y aurait-il pas un moyen mathématique de démontrer cela ? Merci !

Bien à vous :id: !

Méthode 1 :
On découpe la journée en 24 tranches d'une heure de la forme [k heures; k+1 heure[.
On regarde dans quelles tranches horaires on peut avoir un angle droit (toutes sauf 10h et 22h).


Méthode 2.
On calcule le temps t entre deux angles droits. On trouve 11/12.
En 24h, il y a donc 22 fois t.
Comme à minuit il n'y a pas d'angle droit, il y a 22 angles droits par jour (sinon ça aurait été 23).

[laFriteduBelge]

N'y aurait-il pas une erreur d'énoncé ?

Non, pas à ma connaissance !

[laFriteduBelge]

Méthode 1 :
On découpe la journée en 24 tranches d'une heure de la forme [k heures; k+1 heure[.
On regarde dans quelles tranches horaires on peut avoir un angle droit (toutes sauf 10h et 22h).


Méthode 2.
On calcule le temps t entre deux angles droits. On trouve 11/12.
En 24h, il y a donc 22 fois t.
Comme à minuit il n'y a pas d'angle droit, il y a 22 angles droits par jour (sinon ça aurait été 23).

Merci beaucoup !

[Losange]

Q3 : Démontrer que le produit de deux fonctions continues n'est pas nécessairement une fonction continue.

Le problème c'est que le produit de deux fonctions continues est continu.

à mon sens, il s'agit d'une fonction qui n'admet pas d'asymptote et dérivable en aucun point

Heu non.
Une fonction dérivable est continue (la réciproque est fausse). Les asymptotes n'ont rien à voir avec la continuité.
Je pense que vous devriez consulter un cours sur la continuité (ça ne s'explique pas en 4-5 lignes sur un forum).

[laFriteduBelge]

Merci de l'information. En fait, c'est un questionnaire à choix multiple. Toutes les propositions sont vraies excepté la E. Le produit de deux fonctions continues n'est donc pas forcément une fonction continue. Mais vu que je n'ai pas encore abordé les notions liées à la dérivabilité et à la continuité des fonctions, je vais juste m'en tenir à la déduction comme justification. Merci encore !

[laFriteduBelge]

Q5 : Combien de couples (m,n) d'entiers vérifient l'inégalité |m - 20| + |n - 13| < ou = 3 ?

A) 16
B) 23
C) 25
D) 28
E) 36

[nodjim]

Là c'est pas très dur, essaye de réfléchir. Dis toi bien qu'aux O., tu vas tomber sur des problèmes inédits qui ne demandent souvent que de l'astuce. L'entrainement est nécessaire, mais tâche de résoudre seul.

[laFriteduBelge]

C'est noté. Je suis conscient que la majorité des questions nécessitent plus de réflexion qu'autre chose. Néanmoins, la préparation m'a permis et me permet encore de combler certaines lacunes. La consolidation des bases est importante je pense. Mais tu as raison. Je vais me pencher la dessus ! Mais nodjim, dis moi juste si je suis sur la bonne voie en procédant ainsi : vu qu'on parle d'inéquation, on commence par tout ramener dans le même membre et vu qu'on parle de distances, on obtient plusieurs formes possibles (exemple : |m + 20| = m + 20 ou - m - 20) ?

[Losange]

(toutes sauf 10h et 22h)

Petite erreur.
Sauf 8h et 20h.