Géométrie

[Mery05]

Soient A , B et C trois points d'un cercle (;)) , et P le point d'intersection des deux droites tangentes au cercle (;)) aux points B et C respectivement. On suppose que les deux droites (AB) et (CP) sont parallèles et que AB=3 et BP=4
Calculer la longueur du segment [BC]
Merci :id:

[godzylla]

en fonction de l'angle BOC et du rayon du cercle de centre O tu vas avoir une seule valeur possible pour avoir BA parallele a PC et de valeur pour BA =3

c'est presque un théorème. j'ai fait le shéma:



le milieu de AB est un point de la droite (OC) car (OC) perpendiculaire à (AB) et [OC] est un rayon du cercle et [AB] une corde.
il va surement falloir utiliser un autre théorème. je réfléchi....

si BOC90° alors OC>CP
avec une variante pour BOC>180

D milieu de AB et BOD=BPC si 180°>BOC>90°
D milieu de AB et il est possible que BOA=BPC si 90°>BOC>0°
BOA+2BOC=360°

comme BOC+BPC=180° donc BOA+2(180°-BPC)=360°
BOA-2BPC+360°=360°
BOA-2BPC=0° avec un pbm de polarité de l'angle
sinon BOA-2B0C=0° et BOA+2BPC=360° ça peut servir

[Mery05]

en fonction de l'angle BOC et du rayon du cercle de centre O tu vas avoir une seule valeur possible pour avoir BA parallele a PC et de valeur pour BA =3

c'est presque un théorème. j'ai fait le shéma:



le milieu de AB est un point de la droite (OC) car (OC) perpendiculaire à (AB) et [OC] est un rayon du cercle et [AB] une corde.
il va surement falloir utiliser un autre théorème. je réfléchi....

si BOC90° alors OC>CP
avec une variante pour BOC>180

D milieu de AB et BOD=BPC si 180°>BOC>90°
D milieu de AB et il est possible que BOA=BPC si 90°>BOC>0°

BOC+BPC=180°

dans ce cas le cercle est circonscrit au triangle ABC
donc le centre du cercle est le point d'intersection des médiatrices
alors je ne pense pas que C et O et le milieu de [BC] sont alignés

[godzylla]

dans ce cas le cercle est circonscrit au triangle ABC
donc le centre du cercle est le point d'intersection des médiatrices
alors je ne pense pas que C et O et le milieu de [BC] sont alignés

c'est le milieu de AB , celui qui fait 3 et il est aligné.
toute les cordes d'un cercle ont pour médiatrice une droite passant par le centre du cercle.

après je cherche l'équation pour trouver 3 relatif à 4

sinon le plus simple ça va être avec AB=3=2*r sin (AOB/2) et sinon tan (BOP)=BP/r =4/r
et c'est un tableau d'équivalence trigonométrique.

il y a encore BC/2=4 sin (BPC/2) avec un truc a régler pour AOB/2=BPC/4

[Lostounet]

Bonjour,

Les points P, O, B et C sont cocycliques (car deux triangles rectangles de même hypoténuse).
Le quadrilatère PBOC est donc inscrit dans un cercle.

Donc par le théorème de Ptolémée les deux diagonales PO et BC vérifient:

PO.BC = PB.OC + PC.BO = 4R + 4R (avec R le rayon du cercle)

Alors PO.BC = 8R

De plus PO = V(16 + R^2) (pythagore)

Il s'ensuit que BC = 8R/V(16 + R^2)


Reste à calculer le rayon R; je cherche

[Lostounet]

Bon j'ai tenté un peu, et je trouve un rayon voisin de R ~ 1.3

Mais si la figure de Godzylla est bonne, je me suis trompé dans mes calculs.

[Lostounet]

J'ai refait le calcul, je tiens le bout :D

Voici:

Soit s le demi-périmètre du triangle dans lequel le cercle Gamma est inscrit.

s = 10.4 (on applique Thalès en chemin avec les 2 //)

Donc [s(s - a)(s - b)(s - c)]^(1/2) donne environ 19.98...

Ensuite avec la formule K = s*R, on a:

Rayon = 19.98/s ~ 1.93 :)

Et tu remontes en utilisant mon post précédent

[godzylla]

normalement il faudrais que 4 soit la dérivé de r et 3 la dérivé de 4?
et 3 serra aussi la dérivé de la fonction 4=f(r)

avec un trapèze j'ai d'autre equation possible avec longueur des bases que sont 3/2 et 4

[Lostounet]

normalement il faudrais que 4 soit la dérivé de r et 3 la dérivé de 4?
et 3 serra aussi la dérivé de la fonction 4=f(r)

Je comprends pas c'est quoi f pour toi?

[godzylla]

Je comprends pas c'est quoi f pour toi?

x²=x*x donc x²=f(x) c'est une facon de compter les multiplication pour eviter d'utiliser z y et x lorsque x²=y et y²=z

la distance entre le milieu de AB et et C est de racine de 4²-(4-3/2)²

et pour BC =racine de ( V(4²-(4-3/2)²)²+(3/2)²)

[Mery05]

je compte utiliser le théorème de Cashi dans le triangle BCP
on aura donc BC²=PC²+PB²-PC*PB*cos CPB
et puisque PC=PB alors BC²=2PB²-PB²*cos CPB
BC=PB ;)(2-cos CPB)
je considère B' le projeté orthogonal de B sur (PC)
donc cos CPB =PB'/BP
d'où BC= PB;)(2-PB'/BP)

Mais j'arrive pas à trouver la distance PB'!!

[godzylla]

PB=4

sinon les fonction ça peut etre de savoir si il faut considérer la continuité des angles ainsi

[Lostounet]

As-tu lu mon post ? :triste:

[chan79]

En cherchant des angles égaux, on peut d'abord calculer le rayon du cercle .
Ensuite, on a OP puis BC.

[Lostounet]

Je crois que c'est toi qui a raison Chan, car j'ai commis une erreur de raisonnement (dans le calcul du rayon R) :ptdr: Je vais chercher comment compléter mon raisonnement

[Mery05]

désolé pouvez-vous me réexpliquer comment vous avez obtenu r

[godzylla]

En cherchant des angles égaux, on peut d'abord calculer le rayon du cercle .
Ensuite, on a OP puis BC.

je sais pas comment vous faite mais bien vu.

pour bc il suffit de faire 2 fois pythagore dans le trapeze rectangle BPCD ou D est le milieu de AB

[Ben314]

Perso, j'aurais utilisé des angles (je sais pas comment chang a fait...):
Si le cercle a pour centre O et pour rayon R qu'on note D le milieu de [AB] et l'angle alors

- Dans le triangle rectangle OBP

- Comme et on a

- Dans le triangle rectangle ODB soit d'où on tire puis

Enfin, si E est le milieu de [BC],

(aux erreurs de calculs près...)

[Lostounet]

Ben, c'est étrange mais avec ma formule j'obtiens quasiment la même chose que toi:

BC = 3.4641.. avec ta formule

Et avec la mienne 3.4641... pourquoi?

je pense que l'erreur vient dans les chiffres après

[chan79]

Ben, c'est étrange mais avec ma formule j'obtiens quasiment la même chose que toi:

BC = 3.4641.. avec ta formule

Et avec la mienne 3.4641... pourquoi?

je pense que l'erreur vient dans les chiffres après

Pour moi, BC=

J'ai fait à peu près comme Ben