Fonction continue en aucun point

[chan79]

Bonjour
je cherche à savoir s'il existe une fonction de R+* dans R qui vérifie:
pour tout couple de réels strictement positifs:
f(xy)=f(x)+f(y)
et qui ne soit continue en aucun point !
Merci

[girdav]

Bonjour,
une telle fonction est strictement positive si elle est non identiquement nulle. On pose ; satisfait une équation bien connue. En fait on peut montrer qu'une solution est continue (partout) si et seulement si elle est Borel mesurable, mais ça ne répond pas à la question. Après, il faut voir en bidouillant sur une base Hamel de vu comme espace vectoriel.

[chan79]

Bonjour,

une telle fonction est strictement positive si elle est non identiquement nulle. On pose ; satisfait une équation bien connue. En fait on peut montrer qu'une solution est continue (partout) si et seulement si elle est Borel mesurable, mais ça ne répond pas à la question. Après, il faut voir en bidouillant sur une base Hamel de vu comme espace vectoriel.

Bonjour
DESOLE, je viens de voir que j'ai fait une étourderie, la condition est
f(xy)=f(x)+f(y)
Ce que je sais démontrer, c'est que si f est continue en un point de R+*, alors elle continue en tout point de R+* et qu'elle est dérivable en tout point de R+*. A partir de là, on montre assez facilement que f est soit la fonction nulle, soit une fonction logarithme.
Reste ce cas où on n'a pas l'hypothèse de continuité en un point.

[Judoboy]

Le plus cool ça serait de trouver une partition de R+* en des ensembles denses stables par multiplication, mais j'ai pas trouvé. Ca revient à étudier les sous-groupes additifs de R (ils sont isomorphes par l'exponentielle aux sous-groupes multiplicatifs de R+*) mais j'ai rien trouvé d'intéressant. D'ailleurs si quelqu'un a des infos sur les sous-groupes denses de R ça m'intéresse...

Enfin finalement en bidouillant un peu tout ça j'ai trouvé un truc :

On prend R comme Q-espace vectoriel, et on note S un supplémentaire de Q dans R. Tout x appartenant à R s'écrit de manière unique x = a + b, avec a appartenant à Q (comme sous-ev de R) et b appartenant à S. Et du coup tout x appartenant à R+* s'écrit de manière unique x = exp (a + b).

La fonction f(x) = ln(exp(a))-ln(exp(b)) avec les a,b choisis comme au-dessus vérifie bien f(xy) = f(x)+f(y) et n'est continue nulle part

Pour montrer la non-continuité,tu peux utiliser le fait que si f est continue en un point elle est continue partout, or il existe un point en lequel elle n'est pas continue (n'importe quel point appartenant à S par exemple).

[chan79]

Le plus cool ça serait de trouver une partition de R+* en des ensembles denses stables par multiplication, mais j'ai pas trouvé. Ca revient à étudier les sous-groupes additifs de R (ils sont isomorphes par l'exponentielle aux sous-groupes multiplicatifs de R+*) mais j'ai rien trouvé d'intéressant. D'ailleurs si quelqu'un a des infos sur les sous-groupes denses de R ça m'intéresse...

Enfin finalement en bidouillant un peu tout ça j'ai trouvé un truc :

On prend R comme Q-espace vectoriel, et on note S le supplémentaire de Q dans R. Tout x appartenant à R s'écrit de manière unique x = z.a + z'.b, avec z, z' appartenant à Q (comme corps de base du K-ev), a appartenant à Q (comme sous-ev de R) et b appartenant à S. Et du coup tout x appartenant à R+* s'écrit de manière unique x = exp (z.a + z'.b).

La fonction f(x) = ln(exp(z.a))-ln(exp(z'.b)) avec les a,b,z,z' choisis comme au-dessus vérifie bien f(xy) = f(x)+f(y) et n'est continue nulle part

Pour montrer la non-continuité,tu peux utiliser le fait que si f est continue en un point elle est continue partout, or il existe un point en lequel elle n'est pas continue (n'importe quel point appartenant à S par exemple).

Bonjour et merci pour ta réponse
Effectivement, je sais que R peut être considéré comme Q espace vectoriel , mais il est alors de dimension infinie. Tu sembles considérer que (a,b) est une base, a étant un rationnel et b un irrationnel. Je suis un peu dépassé ... :triste:

[ev85]

Bonjour et merci pour ta réponse
Effectivement, je sais que R peut être considéré comme Q espace vectoriel , mais il est alors de dimension infinie. Tu sembles considérer que (a,b) est une base, a étant un rationnel et b un irrationnel. Je suis un peu dépassé ... :triste:

Effectivement le problème est de trouver une base de R comme Q espace vectoriel. C'est une conséquence de l'axiome du choix. Faire une recherche à "base de Hamel".

e.v.

[Judoboy]

Bonjour et merci pour ta réponse
Effectivement, je sais que R peut être considéré comme Q espace vectoriel , mais il est alors de dimension infinie. Tu sembles considérer que (a,b) est une base, a étant un rationnel et b un irrationnel. Je suis un peu dépassé ... :triste:

b n'est pas seulement un irrationnel, b est dans un supplémentaire de Q dans R. R admet une base comme Q-ev, Q est un sous-ev de R comme Q-ev et on complète Q pour obtenir une base de R. b est ici une combinaison linéaire de vecteurs de S, ce n'est pas n'importe quel irrationnel.

Par exemple on ne peut pas avoir 1+e et e appartiennent à S car (1+e)-e = 1 appartenant à Q. Le seul élément que Q et S ont en commun est 0.

Je viens de me rendre compte que j'ai écrit un truc faux, l'unicité de l'écriture est vraie sans les facteurs z et z' :/